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Vidéo de question : Calculer la force exercée par un piston à l’une de ses extrémité en fonction de la force appliquée à l’autre extrémité Physique

Une pompe hydraulique possède un arbre mince d’aire 0,15 m² et un arbre épais d’aire 1,2 m², comme illustré sur le schéma. En haut des arbres se trouvent des pistons qui peuvent être poussés. Une force 𝐹₁ = 85 N est appliquée au piston dans l’arbre mince et la pression du fluide hydraulique applique une force 𝐹₂ au piston dans l’arbre épais. Calcule la valeur de 𝐹₂.

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Transcription de vidéo

Une pompe hydraulique possède un arbre mince d’aire 0,15 m² et un arbre épais d’aire 1,2 m², comme illustré sur le schéma. En haut des arbres se trouvent des pistons qui peuvent être poussés. Une force, 𝐹 de 85 newtons, est appliquée au piston dans l’arbre mince. Et la pression du fluide hydraulique applique une force, 𝐹 deux, au piston dans l’arbre épais. Calcule la valeur de 𝐹 deux.

Bien, sur le schéma, on a du côté gauche cet arbre mince ici et du côté droit l’arbre épais ici. Le schéma indique les aires des arbres respectifs. L’arbre mince a une section transversale de 0,15 mètre carré et l’arbre épais a une section transversale de 1,2 mètre carré.

Au-dessus de ces arbres se trouvent des pistons qui sont représentés en vert. Ces pistons ferment les deux extrémités de ce volume, qui, comme on le voit, contient un fluide. Et comme on nous dit qu’il s’agit d’un fluide hydraulique, on peut supposer qu’il est incompressible. C’est-à-dire que même si on lui applique une pression, le volume du fluide reste le même.

Une force est exercée dans ce système. Et cette force est appelée 𝐹 un. Son amplitude est de 85 newtons. Et cette force pousse sur le piston dont l’aire est la plus petite.

Ici, en ce qui concerne cette force, 𝐹 un, répartie sur la surface de l’arbre mince, cette force divisée par cette aire va créer une pression sur le fluide contenu. Et cette augmentation de pression due à la force 𝐹 un sera entièrement transmise à tout le fluide, comme l’énonce le principe de Pascal. C’est cette pression répartie sur l’aire du plus gros piston à droite qui crée la force agissant vers le haut, 𝐹 deux. Et on cherche à connaître la valeur de cette force, 𝐹 deux.

Avant de faire de la place à l’écran pour ce calcul, on note la valeur de la force 𝐹 un. On nous dit que cette force est de 85 newtons. Et comme on l’a vu, on souhaite trouver l’intensité de la force 𝐹 deux poussant vers le haut sur le piston ayant la plus grande aire. Pour ce faire, on peut commencer à gauche avec la force 𝐹 un. On a établi que cette force répartie sur la surface de l’arbre mince crée une pression. Ceci s’explique par le fait que la pression, 𝑃, est liée à une force et à une aire comme ceci. La pression est égale à une force divisée par une aire. Ou dans ce cas, on peut dire que la pression créée par la force 𝐹 un – on appelle cette pression 𝑃 un - est égale à la force 𝐹 un répartie sur l’aire de l’arbre mince.

Donc 𝑃 un, la pression dans l’arbre mince, est égale à 𝐹 un, la force dont on connait la valeur, divisée par ce que l’on appelle 𝐴 un, où 𝐴 un est égal à 0,15 mètre carré. Ici, 𝑃 un, la pression créée par cette force, correspond à un changement de pression. En effet, au début, aucune pression n’était exercée, alors qu’à present, il y a bien une pression. Et le principe de Pascal dit que lorsque l’on a un fluide incompressible, comme dans ce cas présent. Une variation de pression en un point du fluide est transmise à tous les autres points de ce fluide. Cela signifie que la pression P un agissant sur l’arbre mince de notre volume est la même pression que celle agissant sur l’arbre épais à droite. Et c’est aussi la même pression qui agit sur la face inférieure du plus gros piston.

Si on note la pression agissant sur la face inférieure du plus gros piston 𝑃 deux, alors elle est égale à 𝐹 deux, la force que l’on cherche, divisée par ce que l’on peut appeler 𝐴 deux, qui est la section transversale de l’arbre épais. Comme on vient de le voir, le principe de Pascal relie ces deux équations. Il dit que 𝑃 un est égal à 𝑃 deux. Ou en particulier, la pression agissant sur la face inférieure du piston de petite surface est la même que la pression agissant sur la face inférieure du piston de grande surface.

De plus, si 𝑃 un est égal à 𝑃 deux, alors cela implique que 𝐹 deux sur 𝐴 deux est égal à 𝐹 un sur 𝐴 un. Si on regarde plus particulièrement cette dernière égalité, 𝐹 deux sur 𝐴 deux est égal à 𝐹 un sur 𝐴 un, on voit que l’on connait 𝐹 un, la force appliquée. On connait 𝐴 un et 𝐴 deux. Et par conséquent, on a toutes les informations nécessaires pour réorganiser l’équation et trouver 𝐹 deux.

Pour isoler 𝐹 deux d’un côté de cette équation, on va multiplier les deux côtés par l’aire 𝐴 deux, ce qui permet d’annuler ce terme sur la gauche. On a alors que 𝐹 deux est égal à 𝐹 un multipliée par ce rapport d’aires. 𝐴 deux, la section transversale du grand arbre, divisée par 𝐴 un, celle du petit arbre. 𝐹 un nous est donnée comme étant de 85 newtons. 𝐴 un est la surface de l’arbre le plus mince, 0,15 mètres carrés. Et 𝐴 deux est la section transversale de l’arbre plus épais, 1,2 mètres carrés.

On peut donc maintenant remplacer ces trois valeurs à droite. Ce faisant, on remarque quelque chose au sujet des unités de mètres carrés. Comme elles sont au numérateur et au dénominateur, elles s’annulent. Et il ne nous reste plus que des unités de newtons, c’est-à-dire des unités de force. Lorsque l’on multiplie 85 par 1,2 et que l’on divise ce résultat par 0,15, on obtient un résultat de 680 newtons. Il s’agit de l’intensité de la force agissant sur le piston ayant la plus grande surface.

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