Vidéo question :: Déterminer la mesure de l'angle entre deux plans Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez, à la seconde d’arc près, la mesure de l'angle entre les plans moins cinq, moins neuf, quatre scalaire 𝐫 égale six et moins quatre 𝑥 moins 𝑦 moins six 𝑧 égale moins trois.

D'accord, donc ici nous avons ces deux plans. Disons qu'ils ressemblent à ça. Et on veut déterminer l'angle qui les sépare. Cet angle sera le même que l'angle entre les vecteurs qui sont normaux à chacun d'eux. En fait, on va travailler en termes de vecteurs normaux. On les appellera 𝐧 un et 𝐧 deux. Généralement, pour un angle thêta entre deux plans, le cosinus de cet angle sera égal à la norme du produit scalaire des deux vecteurs 𝐧 un et 𝐧 deux qui sont normaux aux plans considérés, divisée par le produit des normes de ces vecteurs.

Si on peut déterminer 𝐧 un et 𝐧 deux, on peut alors utiliser cette relation pour déterminer thêta, l'angle entre nos plans. Dans cet exemple, le premier plan est donné sous forme vectorielle. Écrit de cette façon, dans le membre de gauche, on a le produit scalaire d'un vecteur en un point arbitraire de notre plan et d'un vecteur qui lui est normal. Autrement dit, on peut dire que 𝐧 un correspond à ce vecteur dont les composantes sont : moins cinq, moins neuf, quatre.

On regarde ensuite l'équation de notre deuxième plan. Celle-ci est donnée presque sous une forme dite générale. En effet, un plan écrit de cette façon est de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro. Dans le cas de l'équation donnée, en ajoutant trois aux deux membres de l’équation, on trouve que moins quatre 𝑥 moins 𝑦 moins six 𝑧 plus trois égale zéro. Et sous forme générale, on peut rappeler que les valeurs 𝑎, 𝑏, et 𝑐 correspondent aux composantes d'un vecteur normal au plan. Autrement dit, on peut dire qu'un plan écrit sous cette forme possède un vecteur normal, que l'on peut appeler 𝐧, dont les composantes sont 𝑎, 𝑏, et 𝑐.

On voit alors que dans l’équation donnée, ces valeurs correspondent à moins quatre, moins un, et moins six. On peut donc dire que ce sont les composantes d'un vecteur normal à notre deuxième plan. Puisque nous connaissons maintenant 𝐧 un et 𝐧 deux, on peut les utiliser pour cette formule. En effet, le cosinus de l'angle entre nos deux plans est égal à cette expression. Dans le numérateur, on prend le produit scalaire de 𝐧 un et 𝐧 deux. Et dans le dénominateur, on calcule leurs normes en utilisant les racines carrées de la somme des carrés de leurs composantes. Et cela nous donne cette expression.

Et en simplifiant encore, on obtient cinq sur racine carrée de 122 fois racine carrée de 53. Cette expression du cosinus thêta signifie que thêta est égal à la fonction arc cosinus de cinq sur racine de 122 fois racine de 53. En utilisant notre calculatrice et en arrondissant à la seconde près, on obtient un angle de 86 degrés, 26 minutes et six secondes. Il s'agit, à la seconde près, de l'angle entre ces deux plans.