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Vidéo de question : Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les identités pythagoriciennes Mathématiques

Simplifiez (1−tan (𝜃))²+(1+tan (𝜃))².

03:24

Transcription de vidéo

Simplifiez un moins tangente 𝜃 au carré plus un plus tangente 𝜃 au carré.

La première chose à faire est de développer l’expression ; un moins tangente 𝜃 au carré devient un moins deux tangente 𝜃 plus tangente carré 𝜃 et un plus tangente 𝜃 au carré devient un plus deux tangente 𝜃 plus tangente carré 𝜃.

Nous pouvons maintenant rassembler les termes similaires. Nous avons deux un qui deviennent deux ensemble. Nous avons moins deux tangente 𝜃 et plus deux tangente 𝜃, qu’on élimine. Enfin, nous avons deux fois tangente carré 𝜃.

Nous avons maintenant deux plus deux tangente carré 𝜃, ce qui est sans aucun doute plus simple que notre expression de départ. Néanmoins, je pense que nous pouvons simplifier davantage. Vous aurez peut-être remarqué que notre expression est égale à deux fois un plus tangente carré 𝜃. Vous pourriez vous souvenir que un plus tangente carré 𝜃 est égal à sécante carré 𝜃.

Vous réécririez alors l’expression sous la forme deux sécante carré 𝜃. Cependant, que faire si vous n’avez pas pensé à réécrire deux plus deux tangente carré 𝜃 sous cette forme ? Bien, une méthode plus fiable consiste à tout réécrire en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. En utilisant le fait que tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, nous pouvons réécrire tangente carré 𝜃 en sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, au carré.

Notre expression entière devient alors deux plus deux fois sinus carré 𝜃 sur cosinus carré 𝜃, ce que nous allons pouvoir réécrire sur un dénominateur commun. Nous avons utilisé le dénominateur commun cosinus carré 𝜃 pour réécrire le tout en une seule fraction.

Sous cette forme, il est légèrement plus facile de voir quelle identité appliquer. Nous avons deux cosinus carré 𝜃 plus deux sinus carré 𝜃 au numérateur et, puisque nous savons que cosinus carré 𝜃 plus sinus carré 𝜃 est égal à un, nous pouvons voir que notre numérateur est simplement égal à deux.

Si vous n’avez pas vu cela immédiatement, peut-être avez-vous remarqué que sinus carré 𝜃 peut s’écrire en fonction de cosinus carré 𝜃 en utilisant cette identité légèrement réarrangée. En effet, si nous soustrayons cosinus carré 𝜃 des deux côtés de l’identité, nous obtenons que sinus carré 𝜃 égale un moins cosinus carré 𝜃. Si nous remplaçons cela dans notre expression, nous obtenons le même numérateur que précédemment, deux.

Il ne nous reste plus qu’à réécrire deux sur cosinus carré 𝜃 sous la forme deux fois sécante carré 𝜃 en utilisant le fait que sécante 𝜃 est égal à un sur cosinus 𝜃. Nous obtenons donc notre réponse finale.

Bien sûr, nous aurions pu économiser quelques lignes de calcul si nous avions utilisé l’identité un plus tangente carré 𝜃 égale sécante carré 𝜃.

Cependant, malgré ces quelques lignes de calculs en plus, l’avantage de tout réécrire en fonction de cosinus 𝜃 et sinus 𝜃 est que nous pouvons tout simplifier à l’aide d’une seule identité, cosinus carré plus sinus carré 𝜃 égale un, au lieu de devoir retenir une demi-douzaine d’identités, dont un plus tangente carré 𝜃 égale sécante carré 𝜃.

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