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Vidéo de question : Déterminer si le produit matriciel peut être commutatif dans certains cas Mathématiques

Étant donné les matrices 2 × 2 𝐴=[8, −3 et 1, −2] et 𝐵=[8, −3 et 1, −2], a-t-on 𝐴𝐵=𝐵𝐴 ?

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Transcription de vidéo

Étant donné les matrices deux-deux 𝐴 égal huit, moins trois, un, moins deux et 𝐵 égal huit, moins trois, un, moins deux, a-t-on 𝐴𝐵 égal 𝐵𝐴 ?

Dans cette question, on nous donne deux matrices deux-deux. Et on nous demande si 𝐴𝐵 égal 𝐵𝐴. On nous demande donc si nous obtenons le même résultat lorsque nous multiplions les deux matrices ensemble dans des ordres différents. En général, nous savons que le produit matriciel n’est pas commutatif, ce qui signifie que nous obtenons un résultat différent si nous multiplions les matrices ensemble dans un ordre différent. En fait, si les deux matrices ne sont pas carrées et de même taille, alors il se peut qu’on ne puisse même pas calculer ces deux produits.

Mais le produit matriciel peut être commutatif dans certains cas. Par exemple, dans le cas où les deux matrices sont des matrices diagonales de même dimension. C’est-à-dire des matrices carrées dont les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale principale sont nuls. Le produit matriciel est aussi commutatif dans le cas où l’une des matrices est la matrice identité. Et l’autre matrice est une matrice carrée de même dimension.

Maintenant, aucune de ces conditions ne s’applique ici. Cependant, si on examine nos matrices 𝐴 et 𝐵, on remarque qu’elles sont liées par une autre relation. Premièrement, elles sont toutes les deux de dimension deux-deux. Donc, elles sont de même dimension. Mais plus important encore, les coefficients qui se correspondent sont les mêmes. Donc la matrice 𝐴 est entièrement égale à la matrice 𝐵. C’est pourquoi, peu importe l’ordre dans lequel on multiplie ces deux matrices. Le produit 𝐴𝐵 est égal au produit 𝐵𝐴. En fait, ces deux produits sont égaux à 𝐴 au carré ou 𝐵 au carré.

On pourrait bien sûr confirmer cela en faisant les deux multiplications à la main pour vérifier qu’elles donnent bien le même résultat. Mais ce n’est pas nécessaire. Une fois qu’on a remarqué que les deux matrices sont identiques, on peut être sûr que leur produit est le même peu importe l’ordre des matrices.

Donc on peut conclure que pour ces deux matrices particulières 𝐴 et 𝐵, 𝐴𝐵 est égal à 𝐵𝐴, ce qui n’est pas vrai dans le cas général

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