Vidéo de la leçon: Simplifier des expressions littérales : exposants négatifs et fractionnaires Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les lois des exposants négatifs et fractionnaires pour résoudre des problèmes d’algèbre. Afin de nous aider à comprendre ces lois, commençons par rappeler les lois du produit et du quotient de puissances. Les lois du produit et du quotient de puissances sont les suivantes. Pour des réels 𝑚 et 𝑛, on peut multiplier des puissances de même base en additionnant leurs exposants. Pour diviser des puissances de même base, on soustrait leurs exposants. Dans ce cas, 𝑎 doit être différent de zéro. Maintenant, puisque 𝑚 et 𝑛 peuvent être des réels quelconques, ces lois s’appliquent également pour des exposants négatifs et fractionnaires. Voyons ce qui se passe lorsque l’on utilise ces lois pour obtenir un exposant négatif.

En utilisant la loi du quotient de puissances, on définit 𝑚 égale à zéro. On a donc 𝑎 puissance zéro divisé par 𝑎 puissance 𝑛. En appliquant cette loi du quotient, on peut l’écrire comme 𝑎 puissance zéro moins 𝑛. Ce qui est égal à 𝑎 puissance moins 𝑛. Réfléchissons à présent à ce que nous venons de découvrir en rappelant que 𝑎 puissance zéro est égal à un. On a montré que un divisé par 𝑎 puissance 𝑛 ou un sur 𝑎 puissance 𝑛 est en fait égal à 𝑎 puissance moins 𝑛. Nous pouvons ajouter cela aux lois des puissances comme la loi des exposants négatifs. Notez que 𝑛 est toujours un réel et que 𝑎 est différent de zéro.

Dans le premier exemple, nous allons voir comment appliquer cette loi des puissances.

Laquelle des expressions suivantes est égale à moins 10 sur neuf 𝑥 puissance moins deux 𝑦 puissance moins sept ? (A) moins neuf sur 10𝑥 au carré 𝑦 puissance sept. (B) moins 10 sur neuf 𝑥 puissance sept 𝑦 au carré. (C) moins 10 sur neuf 𝑥 au carré 𝑦 puissance sept. Ou (D) moins 10𝑥 au carré 𝑦 puissance sept sur neuf.

Cette expression contient des exposants négatifs. Il serait donc utile de rappeler la loi des puissances pour des exposants négatifs. Elle stipule que 𝑎 puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑎 puissance 𝑛 pour tout 𝑎 différent de zéro. Puisque 𝑥 et 𝑦 ont tous les deux des exposants négatifs, on peut appliquer la loi aux deux variables. Pour 𝑥 puissance moins deux, on remplace 𝑎 par 𝑥 et 𝑛 par deux. Donc 𝑥 puissance moins deux est égal à un sur 𝑥 au carré. De la même manière, pour 𝑦 puissance moins sept, on remplace 𝑎 par 𝑦 et 𝑛 par sept. Donc 𝑦 puissance moins sept est égal à un sur 𝑦 puissance sept.

Nous pouvons alors substituer ces valeurs dans l’expression. Cela nous donne moins 10 sur neuf fois un sur 𝑥 au carré fois un sur 𝑦 puissance sept. Et pour multiplier des fractions, on multiplie leurs numérateurs et leurs dénominateurs séparément. L’expression est donc égale à moins 10 sur neuf 𝑥 au carré fois 𝑦 puissance sept, ce qui correspond à la réponse (C).

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la loi des puissances pour des exposants négatifs ainsi que la loi du quotient de puissances.

Vrai ou faux : 𝑥 puissance moins quatre sur 𝑥 puissance moins deux se simplifie par un sur 𝑥 au carré.

Nous pouvons commencer à simplifier cette expression en utilisant la loi du quotient de puissances. Celle-ci stipule que si on divise deux puissances, par exemple 𝑎 puissance 𝑚 divisé par 𝑎 puissance 𝑛, alors on doit soustraire leurs exposants pour obtenir 𝑎 puissance 𝑚 moins 𝑛, pour tout 𝑎 différent de zéro. Et nous savons que 𝑥 puissance moins quatre sur 𝑥 puissance moins deux est égal à 𝑥 puissance moins quatre divisé par 𝑥 puissance moins deux. En utilisant la loi du quotient avec 𝑚 égal à moins quatre et 𝑛 égal à moins deux, on obtient 𝑥 puissance moins quatre moins moins deux. Cela se simplifie par 𝑥 puissance moins deux.

Il s’agit d’une équivalence parfaitement valable, mais elle ne correspond pas à la forme donnée dans la question. Nous rappelons cependant qu’il existe une autre loi des puissances pour les exposants négatifs, qui stipule que 𝑎 puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑎 puissance 𝑛 pour une valeur non nulle de 𝑎. Donc, 𝑥 puissance moins deux est en fait égal à un sur 𝑥 au carré. En utilisant une valeur de 𝑛 égale à deux. Nous avons ainsi montré que l’expression 𝑥 puissance moins quatre sur 𝑥 puissance moins deux est bien équivalente à un sur 𝑥 au carré. Et donc l’affirmation de la question est vraie.

Mais nous aurions également pu manipuler cette expression d’une autre façon et arriver à la même conclusion. On aurait en effet pu commencer par appliquer la loi des exposants négatifs en premier. En manipulant d’abord le numérateur de cette expression, on peut dire qu’il est égal à un sur 𝑥 puissance quatre. Et le dénominateur 𝑥 puissance moins deux est égal à un sur 𝑥 au carré. Il est alors plus facile de simplifier cela en rappelant qu’une fraction est équivalente à une division. Cela donne donc un sur 𝑥 puissance quatre divisé par un sur 𝑥 puissance deux.

Mais on rappelle que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. On obtient ainsi 𝑥 au carré sur 𝑥 puissance quatre. Afin de simplifier cela davantage, on applique la première loi que nous avons vue dans cette question. Avec 𝑚 égale à deux et 𝑛 égale à quatre, on a 𝑥 puissance deux moins quatre. Et bien sûr, deux moins quatre égale moins deux. On peut ensuite reformuler cela en utilisant la loi des exposants négatifs par un sur 𝑥 au carré. Et nous avons ainsi confirmé que l’affirmation de la question est vraie.

Avant de passer à d’autres exemples, rappelons quelques lois des puissances supplémentaires. Ces lois des puissances stipulent que pour tous réels 𝑚 et 𝑛, 𝑎 puissance 𝑚 puissance 𝑛 est égal à 𝑎 puissance 𝑚𝑛. 𝑎𝑏 puissance 𝑚 est égal à 𝑎 puissance 𝑚 fois 𝑏 puissance 𝑚. Et 𝑎 sur 𝑏 puissance 𝑚 est égal à 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑏 puissance 𝑚, où 𝑏 est différent de zéro.

Voyons comment appliquer ces lois des puissances avec les exemples suivants.

Simplifiez 𝑚 sur 𝑛 puissance moins un puissance moins trois fois deux 𝑚 puissance moins deux sur 𝑛 puissance moins deux, le tout puissance moins trois.

Afin de simplifier cette expression, nous allons avoir besoin de quelques lois des puissances. Puisque nous avons des fractions élevées à une puissance, nous allons utiliser la loi des puissances qui stipule que 𝑎 sur 𝑏 puissance 𝑚 est égal à 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑏 puissance 𝑚, où 𝑏 est différent de zéro et 𝑚 est un nombre réel. Appliquons donc cette loi à la première partie de l’expression. Comme cette fraction est à la puissance moins trois, nous savons qu’elle est équivalente à son numérateur puissance moins trois sur son dénominateur puissance moins trois. Et pour simplifier le dénominateur de 𝑛 puissance moins un puissance moins trois, nous allons avoir besoin d’une autre loi des puissances.

Cette loi stipule que 𝑎 puissance 𝑚 puissance 𝑛 est égal à 𝑎 puissance 𝑚 fois 𝑛. On prend donc les deux exposants moins un et moins trois et on les multiplie. Et moins un fois moins trois égale trois. Nous avons donc simplifié cette partie de l’expression par 𝑚 puissance moins trois sur 𝑛 puissance trois. Voyons si nous pouvons simplifier la deuxième partie de manière similaire.

La première chose que nous pouvons faire est d’appliquer cette loi des puissances de fractions. Le numérateur devient donc deux 𝑚 puissance moins deux puissance moins trois. Et le dénominateur devient 𝑛 puissance moins deux puissance moins trois. Afin de simplifier le numérateur de cette fraction, nous devons rappeler une autre loi des puissances. Cette loi stipule que 𝑎𝑏 puissance 𝑚 est égal à 𝑎 puissance 𝑚 fois 𝑏 puissance 𝑚, où 𝑚 est un réel. Le numérateur de cette fraction est donc égal à deux puissance moins trois fois 𝑚 puissance moins deux puissance moins trois. Et on simplifie le dénominateur en se souvenant que l’on peut utiliser cette deuxième loi des puissances et multiplier les exposants. Comme moins deux fois moins trois égale six, le dénominateur devient 𝑛 puissance six.

Notre prochaine étape est maintenant de simplifier cette partie de l’expression, 𝑚 puissance moins deux puissance moins trois. Comme auparavant, on peut multiplier ces exposants. On a donc 𝑚 puissance moins deux fois moins trois. Et on sait que moins deux fois moins trois égale six. Nous pourrions peut-être simplifier cette expression davantage en calculant le deux puissance moins trois. Mais substituons pour l’instant ces expressions en orange et rose dans l’expression initiale. En les multipliant, on obtient 𝑚 puissance moins trois sur 𝑛 puissance trois fois deux puissance moins trois 𝑚 puissance six sur 𝑛 puissance six.

Et on sait que pour multiplier des fractions, on multiplie leurs numérateurs et dénominateurs séparément. On remarque alors qu’au numérateur, on a deux termes avec la même base 𝑚. Et il existe une loi des puissances nous permettant de simplifier cela. Cette loi stipule que 𝑎 puissance 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 est égal à 𝑎 puissance 𝑚 plus 𝑛. Attention ici à ne pas confondre les 𝑚 et 𝑛 des lois générales des puissances avec ceux de notre expression. Au numérateur, on additionne donc les deux exposants de 𝑚 qui sont moins trois et six. On a donc deux puissance moins trois fois 𝑚 puissance moins trois plus six au numérateur. Et au dénominateur, on additionne les exposants trois et six de 𝑛. Ce qui donne 𝑛 puissance trois plus six.

À ce stade, nous avons simplifié les termes en 𝑚 et 𝑛 au maximum. Mais voyons si nous pouvons faire quelque chose pour simplifier ce deux puissance moins trois. Nous allons pour cela utiliser une dernière loi des puissances pour les exposants négatifs. Cette loi stipule que 𝑎 puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑎 puissance 𝑛. Cela signifie que deux puissance moins trois peut être écrit comme un sur deux au cube. On rappelle alors que deux au cube est égal à deux fois deux fois deux, soit huit. Donc, deux puissance moins trois est égal à un sur huit. En remplaçant deux puissance moins trois par un sur huit, on obtient enfin l’expression 𝑚 au cube sur huit 𝑛 puissance neuf. Et c’est la réponse à notre question. L’expression initiale se simplifie par 𝑚 au cube sur huit 𝑛 puissance neuf.

Étudions maintenant un dernier exemple.

Simplifiez l’expression 𝑥 puissance huit sur 𝑦 puissance moins quatre, le tout puissance un demi.

Afin de simplifier cette expression, nous pouvons commencer par la loi des puissances de fractions, qui stipule que 𝑎 sur 𝑏 puissance 𝑚 est égal à 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑏 puissance 𝑚. On peut donc écrire que cette expression est égale à 𝑥 puissance huit puissance un demi sur 𝑦 puissance moins quatre puissance un demi. Afin de simplifier les puissances au numérateur et au dénominateur, nous pouvons appliquer une deuxième loi des puissances. On multiplie les exposants huit et un demi au numérateur et les exposants moins quatre et un demi au dénominateur. Cela nous donne 𝑥 puissance quatre sur 𝑦 puissance moins deux. Bien que cette expression soit parfaitement valide et simplifiée, on exprime par convention les exposants négatifs sous forme d’exposants positifs.

On rappelle alors que 𝑎 puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑎 puissance 𝑛, où 𝑎 est différent de zéro. Cela signifie que l’on peut reformuler l’expression par 𝑥 puissance quatre sur un sur 𝑦 au carré. Et on peut simplifier cette fraction dans une fraction en se souvenant que les fractions sont équivalentes à des divisions. Et que ce que nous avons en réalité ici est l’expression 𝑥 puissance quatre divisée par un sur 𝑦 au carré. On rappelle que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Cela signifie que l’on a 𝑥 puissance quatre fois 𝑦 au carré. Nous concluons donc que l’expression initiale peut se simplifier par 𝑥 puissance quatre 𝑦 au carré.

Avant de terminer cette vidéo, il y a deux autres lois des puissances que vous devriez connaître. Celles-ci concernent les exposants fractionnaires. La première loi stipule que 𝑎 puissance un sur 𝑛 est égal à racine 𝑛-ième de 𝑎 pour toute valeur de 𝑎 supérieure ou égale à zéro et tout entier positif 𝑛. Nous pouvons également étendre cela pour obtenir une deuxième loi qui stipule que 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑛 est égal à racine 𝑛-ième de 𝑎, le tout puissance 𝑚. Et cela est aussi égal à racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance 𝑚. Ces deux lois sont particulièrement utiles lorsque nous utilisons des valeurs numériques plutôt que des variables.

Résumons à présent les points clés de cette vidéo. Nous avons vu que les lois d’un produit et d’un quotient de puissances s’appliquent également aux exposants fractionnaires et négatifs. Nous avons ainsi appris que la loi des puissances pour les exposants négatifs est un sur 𝑎 puissance 𝑛 égale 𝑎 puissance moins 𝑛 pour des valeurs non nulles de 𝑎. Nous avons enfin terminé par deux lois des puissances pour les exposants fractionnaires. Il est important de mémoriser ces lois des puissances car elles sont souvent nécessaires pour les examens.