Vidéo : Simplifier une expression trigonométrique à l’aide des identités de Pythagore et de quotient

Simplifie sin 𝜃 cos 𝜃 (tan 𝜃 + cot 𝜃).

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Transcription de vidéo

Simplifie sin 𝜃 fois cos 𝜃 fois tan 𝜃 plus cot 𝜃.

Donc, d’abord, nous copions simplement l’expression que nous devons simplifier à partir de la question. Nous devons utiliser six fonctions trigonométriques : sin, cos, tan, csc, sec et cot. Et elles peuvent toutes être écrites en fonction de sin et de cos seulement. Et il est utile de le faire lorsque nous simplifions, alors utilisons ces relations pour écrire notre expression que nous devons simplifier en fonction de sin et de cos seulement.

Bien évidemment, avec le sin et le cos 𝜃, nous n’avons rien à faire, mais nous devons faire quelque chose avec tan 𝜃. Nous pouvons réécrire tan 𝜃 comme un sin 𝜃 sur cos 𝜃, tel quel.

Nous pouvons faire la même chose pour cot 𝜃 ; cot 𝜃 est égal à cos 𝜃 sur sin 𝜃, comme tel. Et maintenant, nous pouvons voir que notre expression que nous devons simplifier n’est écrite qu’en fonction de sin et de cos.

Nous avons ici la somme des fractions, que nous aimerions simplifier en les combinant en une seule fraction, ce qui nécessite de trouver un dénominateur commun. Nous pouvons voir que cos 𝜃 sin 𝜃 servira pour cela. Avec ce dénominateur commun, la première fraction devient sin 𝜃 fois sin 𝜃 sur cos 𝜃 fois sin 𝜃.

Et la seconde fraction devient cos 𝜃 fois cos 𝜃 sur cos 𝜃 fois sin 𝜃. Et nous pouvons combiner ces deux fractions maintenant qu’elles ont un dénominateur commun, cos 𝜃 sin 𝜃, pour obtenir sin 𝜃 sin 𝜃 plus cos 𝜃 cos 𝜃 sur cos 𝜃 sin 𝜃.

Nous pouvons barrer ici. Nous multiplions par cos 𝜃, puis nous divisons par lui. De même, nous multiplions par sin 𝜃, puis nous le divisons. Il nous reste donc sin 𝜃 sin 𝜃 plus cos 𝜃 cos 𝜃, que nous pouvons écrire sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃.

Et nous reconnaissons cette ligne parce qu’elle fait partie d’une identité connue : sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 est égal à un. Après toute cette simplification, nous avons une réponse très simple: sin 𝜃 fois cos 𝜃 fois tan 𝜃 plus cot 𝜃 est égal à un.

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