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Vidéo de question : Déterminer le moment et la distance perpendiculaire d’une force résultante par rapport à un point de rotation Mathématiques

Sachant que 𝐅₁=−2𝐢+2𝐣, 𝐅₂=−3𝐢−𝐣 et 𝐅₃=𝐢−4𝐣 agissent au point 𝐴(2 ; 3), déterminez le moment 𝐌 de la force résultante par rapport au point 𝐵(−2 ; −1), et calculez la longueur de la perpendiculaire 𝐿 qui relie le point 𝐵 à la ligne d’action de la résultante.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝐅 un égale moins deux 𝐢 plus deux 𝐣, 𝐅 deux égale moins trois 𝐢 moins 𝐣 et 𝐅 trois égale 𝐢 moins quatre 𝐣 agissent au point 𝐴 de coordonnées deux, trois, déterminez le moment 𝐌 de la force résultante par rapport au point 𝐵 de coordonnées moins deux, moins un, et calculez la longueur de la perpendiculaire 𝐿 qui relie le point 𝐵 à la ligne d’action de la résultante.

On rappelle que le moment 𝐌 d’une force 𝐅 agissant sur un point 𝑃 par rapport à un point 𝑂 est donné par 𝐫 produit vectoriel 𝐅, où 𝐫 est le vecteur de 𝑂 à 𝑃. Pour déterminer le moment 𝐌 dans cette question, on doit d’abord déterminer la résultante des trois forces, 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois. Il suffit pour cela de faire une simple addition de vecteurs. La force résultante, qu’on note 𝐅, est égale à 𝐅 un plus 𝐅 deux plus 𝐅 trois. Cela nous donne moins deux 𝐢 plus deux 𝐣 moins trois 𝐢 moins 𝐣 plus 𝐢 moins quatre 𝐣. Cela se simplifie en moins quatre 𝐢 moins trois 𝐣.

Maintenant qu’on connaît 𝐅, on doit déterminer le vecteur 𝐫 issue du point 𝑂, dans notre cas c’est du point 𝐵 de coordonnées moins deux, moins un, au point d’action 𝑃, dans notre cas c’est le point 𝐴 de coordonnées deux, trois. Donc 𝐫 est donné par le vecteur position de 𝐴 égal à deux, trois, moins le vecteur position de 𝐵 égal à moins deux, moins un, ce qui nous donne le vecteur quatre, quatre. Et le moment 𝐌 est donné par 𝐫 produit vectoriel 𝐅, qui est le déterminant de la matrice trois fois trois qui est égale à 𝐢, 𝐣, 𝐤, quatre, quatre, zéro, moins quatre, moins trois, zéro. Les vecteurs 𝐫 et 𝐅 appartiennent tous les deux au plan 𝑥𝑦, donc leurs composantes 𝐤 sont nulles. Par conséquent, seule la composante 𝐤 de leur produit vectoriel va être non nulle.

En développant par rapport à la ligne en haut, on trouve que notre déterminant est égal à moins 12 moins moins 16𝐤. Cela nous donne la première partie de notre réponse. Le moment 𝐌 de la force 𝐅 par rapport au point 𝑃 est égal à quatre 𝐤.

On doit maintenant calculer la longueur de la perpendiculaire 𝐿 qui relie le point 𝐵 à la force d’action de la force résultante. Cela revient à déterminer la distance perpendiculaire entre le point 𝐵 et la ligne d’action de la force résultante. On rappelle alors que ces quantités sont liées par cette équation : la norme du moment 𝐌 est égale à la norme du moment 𝐅 multipliée par la distance perpendiculaire entre le point de rotation et la ligne d’action 𝐿. En réarrangeant l’équation pour isoler 𝐿, on obtient que 𝐿 est égal à la norme de 𝐌 divisée par la norme de 𝐅. 𝐌 est égal à quatre 𝐤. Donc sa norme est simplement quatre.

Et la norme de 𝐅 peut être déterminée en appliquant le théorème de Pythagore à ses composantes. Cela nous donne racine carrée de moins quatre au carré plus moins trois au carré. Cela se simplifie en racine carrée de 25, ce qui est égal à cinq. On peut ignorer la racine carrée négative car on cherche une longueur strictement positive, donc 𝐿 est égal à quatre cinquièmes. Sous forme décimale, la seconde partie de notre réponse, la longueur de la perpendiculaire 𝐿 qui relie le point 𝐵 à la ligne d’action de la force résultante, est égale à 0,8 unités de longueur.

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