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Vidéo de question : Déterminer le nombre de solutions possibles pour un triangle étant donné les longueurs de deux côtés et la mesure d’un angle Mathématiques

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que la mesure de l’angle 𝑚∠𝐵 = 110 °, 𝑏 = 16 cm et 𝑐 = 12 cm. Combien y a-t-il de solutions possibles pour les autres longueurs et angles ?

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que la mesure de l’angle 𝐵 est de 110 degrés, 𝑏 est égal à 16 centimètres et 𝑐 est égal à 12 centimètres. Combien y a-t-il de solutions possibles pour les autres longueurs et angles ?

Rappelez-vous, ici 𝑏 minuscule et 𝑐 minuscule se réfèrent aux côtés du triangle. Réalisons rapidement une esquisse afin de pouvoir visualiser plus facilement le triangle. Le triangle ressemble à ceci.

Par convention, nous avons des côtés et des angles avec des lettres majuscules pour les angles et des lettres minuscules pour les côtés, rappelez-vous que le côté 𝑐 est opposé à l’angle 𝐶, le côté 𝑎 est opposé à l’angle 𝐴, et ainsi de suite.

Nous avons donc un angle de 110 degrés. En face, nous avons un côté de 16 centimètres. Et puis nous avons aussi le côté 𝑐, qui est de 12 centimètres. La question nous demande combien de solutions possibles existent pour les autres longueurs et angles de ce triangle.

Maintenant, nous allons réfléchir un peu plus tard à ce que cela signifie. Mais commençons par réfléchir à la façon dont nous pourrions calculer n’importe quel angle et longueur du triangle si cela est possible.

On nous donne une paire opposée dans l’énoncé. Donc, un angle et son côté opposé sont connus. Cela suggère que nous pouvons utiliser la loi des sinus dans cette question. Que pourrions-nous calculer avec la loi des sinus ? Eh bien, étant donné que nous connaissons le côté de 12 centimètres de longueur, nous pourrons calculer l’angle opposé, l’angle 𝐶.

Rappelez-vous, la loi des sinus nous dit qu’au sein d’un triangle, qui n’a pas besoin d’être rectangle, le rapport entre le sinus de chaque angle et la longueur du côté opposé est constant. Vous pouvez avoir l’habitude de loi des sinus écrite dans l’autre sens avec les côtés au numérateur.

Mais comme nous cherchons un angle, nous allons utiliser cette version réciproque où les angles sont au numérateur. En pratique, nous n’utilisons que deux parties de ce rapport ensemble. Donc, ici, nous allons utiliser la partie impliquant 𝑏 et 𝑐. Remplaçons dans les valeurs connues pour le côté 𝑏, le côté 𝑐 et l’angle 𝐵.

Nous avons le sinus d’angle 𝐶 divisé par 12 est égal à sinus de 110 degrés divisé par 16. Voyons maintenant si nous pouvons résoudre cette équation et trouver l’angle 𝐶. Nous allons commencer par multiplier les deux côtés de l’équation par 12. Cela nous indique que le sinus d’angle 𝐶 est égal à 12 sinus de 110 degrés divisé par 16.

Maintenant, sous forme décimale, cela signifie que sin 𝐶 est égal à 0,70476. Et j’ai évalué cela en utilisant ma calculatrice et gardé la valeur sur l’écran de la calculatrice. Afin de trouver l’angle 𝐶, nous devons maintenant utiliser la fonction arcsinus. La calculatrice me dit que 𝐶 est l’arcsinus de 0,70476. Et à une décimale près, c’est 44,8 degrés.

Réfléchissons à ce que nous avons fait. Nous avons appliqué la loi des sinus pour trouver une valeur pour l’angle 𝐶 de 44,8 degrés. Nous pourrions également calculer l’angle 𝐴 en utilisant le fait que la somme des angles dans un triangle fait 180 degrés. Nous avons donc que l’angle 𝐴 est égal à 25,2 degrés.

Nous pourrions alors appliquer à nouveau la loi des sinus en utilisant une paire différente, cette fois la paire 𝑏 et 𝑎, afin de calculer le troisième côté du triangle, le côté 𝑎. Nous n’allons pas le faire parce que la question ne nous demande pas réellement de trouver les autres longueurs et angles. On nous demande simplement les possibilités.

Nous savons donc qu’il existe au moins une solution possible pour les autres longueurs et angles. La question est de savoir s’il y en a d’autres. La possibilité qu’il y en ait plus se présente à ce stade ici, où nous avons le sinus de 𝐶 égal à 0,704. Et la raison en est qu’il y a deux angles inférieurs à 180 degrés qui ont le même sinus. C’est une règle générale que pour des valeurs de 𝐶 inférieures à 180, le sinus d’un angle 𝐶 est le même que le sinus de 180 moins 𝐶.

Par conséquent, il est possible qu’une autre valeur de 𝐶 soit de 180 degrés moins notre valeur calculée de 44,8, qui serait de 135,2 degrés. Cependant, rappelez-vous que nous savons déjà que l’angle 𝐵 est de 110 degrés. Si l’angle 𝐶 était de 135,2 degrés, cela signifierait que la somme de ces deux seuls angles serait de 245,2 degrés, ce qui dépasserait la somme des angles dans un triangle de 180 degrés.

Eh bien, cela signifie qu’en raison des informations dont nous disposons déjà sur l’angle 𝐵, il n’est pas possible que l’angle 𝐶 ou même aucune des autres inconnues prenne une valeur différente de celles que nous venons de calculer. Donc, pour répondre à la question, il n’y a qu’une seule solution possible pour les autres longueurs et autres angles de ce triangle.

Maintenant, vous vous demandez peut-être si une ou deux solutions possibles sont les seules réponses possibles à cette question. Et en fait, il existe une troisième solution possible. Rappelez-vous que nous avons trouvé que le sinus de 𝐶 était égal à 0,70476. Parfois, dans des questions comme celle-ci, les valeurs qui vous ont été données peuvent vous conduire à quelque chose comme le sinus de 𝐶 est égal à 1,24.

Et si tel est le cas, il n’y a pas de solutions possibles pour les autres longueurs et angles. Pourquoi ? Eh bien, parce que le sinus d’un angle est toujours entre moins un et un. Et en fait, pour un angle compris entre zéro et 180 degrés, le sinus de cet angle sera toujours compris entre zéro et un.

Par conséquent, si vous avez une question similaire à celle-ci et que vous arrivez à un sinus de 𝐶 égal à quelque chose de supérieur à un, vous savez qu’il n’y a pas de solutions possibles car cette équation ne peut pas être résolue pour trouver 𝐶.

Rappelez-vous, notre réponse à ce problème, avec l’ensemble des angles et des côtés qui nous ont été donnés, est qu’il existe une seule solution possible pour les longueurs et les angles restants dans ce triangle.

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