Vidéo : Une façon facile mais complexe de trouver un trésor

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les nombres complexes pour résoudre le mystère d’une carte à trésor.

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Transcription de vidéo

Il y a une énigme d’un ancien trésor enterré qui s’avère très facile à résoudre si vous connaissez les nombres complexes. Dans cette vidéo, nous allons voir une méthode facile mais complexe de trouver un trésor. Le pirate redouté, Barbe rayée orange et vert, enterre son trésor sur une petite île déserte ayant un pin, un laurier et une pierre tombale à proximité. Puis il laisse à son petit-fils Nigel quelques simples instructions afin qu’il puisse trouver l’endroit où le trésor a été enterré.

Commence à la pierre tombale et marche en ligne droite vers le laurier. Puis fais un tour de 90 degrés dans le sens horaire et traverse la même distance encore une fois. Puis marque cet endroit. Retourne à la pierre tombale et marche tout droit vers le pin. Fais un tour de 90 degrés dans le sens antihoraire puis traverse la même distance encore une fois et marque l’endroit.

Le trésor se trouve juste au milieu des deux endroits que tu as marqués. Malheureusement, avant l’arrivée de Nigel à l’île pour récupérer le trésor, quelques pilleurs de tombes volèrent la tombe y compris la pierre tombale. Alors comment Nigel va-t-il trouver son trésor maintenant qu’il n’a plus un point de départ ? il est important de souligner que cette énigme a été établie avant la photographie aérienne et le radar à pénétration de sol qui pouvaient nous donner quelques indices.

Et il n’avait pas d’équipements lourds pour creuser de vastes étendues. Il a une pelle et il veut se diriger directement vers le trésor et le déterrer. Il faut aussi souligner que Barbe rayée orange et vert avait choisi le pin et le laurier car ils étaient uniques sur l’île et facilement représentés sur une carte. L’un ressemble à un triangle et l’autre à un cercle.

Il n’avait pas pris en compte le fait que tous les deux ressemblent à un cercle dans une vue en plan. Mais ne nous arrêtons pas sur ces petits détails. Mettez la vidéo en pause et essayez de résoudre l’énigme et savoir comment Nigel peut trouver le trésor de Barbe rayée orange et vert, et puis je vais vous le montrer.

A-har ! Yo ho ho ! Qui a volé mon chapeau de pirate ? Et mes autres affaires de pirate…

Bon, comme première tactique on peut dessiner une simple carte, choisir aléatoirement un point pour la pierre tombale et suivre les instructions pour voir où ça va nous mener. Voici le pin et voilà le laurier. Mettons aléatoirement la pierre tombale ici et suivons les instructions. On marche tout droit vers le laurier. On fait un tour de 90 degrés dans le sens horaire. On marche la même distance encore une fois. Et puis on marque cet endroit.

Puis on retourne à la pierre tombale. On marche tout droit vers le pin. On fait un tour de 90 degrés dans le sens antihoraire. On marche la même distance encore une fois et on marque cet endroit. Puis on cherche le point juste au milieu de ces deux endroits et c’est ici que se trouve le trésor. Et quand vous faites cela plusieurs fois, vous remarquez quelque chose d’intéressant. Vous avez peut-être essayé cette méthode. Sinon, alors mettez à nouveau la vidéo en pause et faites vous-même un essai avant que je vous en parle.

Faisons une deuxième démonstration. Cette fois on met la pierre tombale ici. On marche tout droit vers le laurier. On fait un tour de 90 degrés dans le sens horaire. On marche la même distance encore une fois. Et on marque l’endroit. On retourne à la pierre tombale. On marche vers le pin. On tourne 90 degrés dans le sens antihoraire. On marche la même distance encore une fois. Et on marque l’endroit. Et quand on trouve le point au milieu de ces deux points, alors c’est ici que le trésor est caché. C’est intéressant, le trésor se trouve au même endroit.

Est-ce une simple coïncidence ? Car sinon, alors peu importe notre point de départ. Nous terminerons toujours au même endroit si nous suivons les instructions. Évidemment, il faut faire attention quant au point de départ, sinon nous terminerons par marquer un endroit dans la mer, ce qui ne sera pas facile. Mais est-ce possible de trouver une solution prouvant que peu importe la place de la pierre tombale, nous trouverons toujours le trésor si l’on suit les instructions ?

Il y en a plusieurs, mais utilisons les nombres complexes pour en explorer une. Traçons une droite entre le pin et le laurier. Puis tournons un peu notre vue de l’île et appelons cela l’axe des réels dans un plan complexe. Maintenant prenons le point médian entre les arbres et appelons-le l’origine, puis traçons l’axe des imaginaires.

Puis si l’on définit notre unité comme la distance de l’origine jusqu’au laurier, alors on peut représenter l’emplacement du laurier par le nombre complexe un plus zéro 𝑖 sur ce plan, et l’emplacement du pin par moins un plus zéro 𝑖. Maintenant choisissons un point quelconque pour la pierre tombale. Appelons-le 𝐺. Et pendant que nous y sommes, marquons les points où se trouvent les arbres, 𝑃 pour le pin et 𝐵 pour le laurier. Et représentons la position de 𝐺 par le nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖.

Il contient une partie réelle de 𝑎 fois la distance de l’origine jusqu’au laurier, et une partie imaginaire de 𝑏 fois la distance de l’origine jusqu’au laurier. Les instructions de la chasse au trésor nous a dit de commencer au point 𝐺 et de marcher jusqu’à 𝐵, donc représentons cela en forme d’un vecteur sur notre plan complexe. Pour aller de 𝐺 à 𝐵, la partie réelle change de 𝑎 à un. Donc cette composante du trajet du vecteur est un moins 𝑎, la différence entre un et 𝑎. Et la partie imaginaire change de 𝑏𝑖 à zéro 𝑖, que l’on peut écrire zéro 𝑖 moins 𝑏𝑖 puis simplifier en moins 𝑏𝑖.

Donc on peut écrire le vecteur 𝐺𝐵 comme un moins 𝑎 plus moins 𝑏𝑖, ou même moins 𝑎 moins 𝑏𝑖. Ensuite, il faut faire un tour de 90 degrés dans le sens horaire et remarcher la même distance. Sur le plan complexe il suffit de multiplier un vecteur par moins 𝑖 afin de le faire tourner 90 degrés dans le sens horaire. Alors faisons cela. Moins 𝑖 fois 𝐺𝐵 égale 𝑖 fois un moins 𝑎 moins 𝑏𝑖. Et lorsque je multiplie par moins 𝑖, j’obtiens moins un moins 𝑎𝑖 plus 𝑏𝑖 au carré.

Maintenant rappelez-vous, 𝑖 au carré égale moins un. Ce dernier terme devient donc moins 𝑏. Mettons la partie réelle en premier puis la partie imaginaire en second pour avoir moins 𝑏 moins un moins 𝑎 𝑖. En fait, je n’aime pas tous ces signes négatifs en train de flotter ici. Donc je vais écrire moins 𝑏 plus 𝑎 moins un 𝑖. Mais ce vecteur représente un mouvement dans le plan complexe, une direction qui est 90 degrés dans le sens horaire tournée du vecteur 𝐺𝐵 et de même norme ou distance que le vecteur 𝐺𝐵.

Il faut définir ce vecteur de manière que son point de départ ou son point initial soit le laurier. Ensuite on peut trouver sa fin ou son point terminal pour nous indiquer où marquer un point sur le sol. Appelons-le 𝐵 prime. Maintenant notre vecteur, moins 𝑏 plus 𝑎 moins un 𝑖 peut être appelé 𝐵𝐵 prime ou ce vecteur ici. Alors pour trouver le vecteur position de 𝐵 prime, il faut commencer par l’origine et préciser le vecteur qui nous mène au point 𝐵 prime.

Pour faire cela, faisons le trajet de 𝑂 à 𝐵 et puis de 𝐵 à 𝐵 prime. Alors le vecteur 𝑂𝐵 prime est égale au vecteur 𝑂𝐵 plus vecteur 𝐵𝐵 prime. Et souvenez-vous, on vient de trouver une expression pour le vecteur 𝐵𝐵 prime. Donc le vecteur 𝑂𝐵 était un plus zéro 𝑖 et le vecteur 𝐵𝐵 prime était moins 𝑏 plus 𝑎 moins un 𝑖. Donc en retirant les parties réelles, on obtient un moins 𝑏, et les parties imaginaires zéro 𝑖 et 𝑎 moins un 𝑖.

Donc le vecteur position du point 𝐵 prime est simplifié en un moins 𝑏 plus 𝑎 moins un 𝑖. Notons donc cela ici. Et maintenant on peut utiliser un procédé similaire pour déterminer où se trouve le point 𝑃 prime après avoir commencé à partir de 𝐺, en marchant tout droit de 𝑃, faisant un tour de 90 degrés dans le sens antihoraire cette fois, puis en remarchant la même distance dans cette direction. Donc retournons à la pierre tombale et marchons tout droit vers un point 𝑃.

Et la partie réelle de 𝐺𝑃 est la différence entre moins un et 𝑎, qui est moins un moins 𝑎, ou simplement moins 𝑎 plus un. Et sa partie imaginaire est la différence entre zéro 𝑖 et 𝑏𝑖, qui est zéro 𝑖 moins 𝑏𝑖, ou simplement moins 𝑏𝑖. Donc nous avons cette expression pour le vecteur 𝐺𝑃 : moins 𝑎 plus un plus moins 𝑏𝑖, ou simplement moins 𝑎 plus un moins 𝑏𝑖. Donc pour faire une rotation de 90 degrés dans le sens antihoraire, il faut simplement multiplier cela par 𝑖, ce qui donne 𝑖 fois 𝐺𝑃 égale 𝑖 fois moins 𝑎 plus un moins 𝑏𝑖.

Et en multipliant par 𝑖 on obtient moins 𝑎 plus un 𝑖 moins 𝑏𝑖 au carré. Et à nouveau, 𝑖 au carré est moins un. Donc nous avons moins 𝑏 fois moins un, ce qui est plus 𝑏. Puis on échange les places de ceux-là pour mettre les parties réelles, d’abord nous avons 𝑖 fois 𝐺𝑃 égale 𝑏 moins 𝑎 plus un 𝑖. Et comme avec le vecteur 𝐵𝐵 prime, cela représente la direction et la norme du vecteur 𝑃𝑃 prime. Et lorsqu’on trace cela sur notre schéma, ça marche tout droit à travers nos calculs. Mais ça nous indique que 𝑃 prime est ici.

Et juste comme avant, pour déterminer le vecteur position de 𝑃 prime je vais aller de 𝑂 à 𝑃 puis de 𝑃 à 𝑃 prime. Donc le vecteur position de 𝑃 prime est égal au vecteur position du pin plus le vecteur 𝑃𝑃 prime. C’est donc moins un plus zéro 𝑖, la position du pin, plus 𝑏 moins 𝑎 plus un 𝑖. En prenant les parties réelles, nous avons moins un plus 𝑏, et les parties imaginaires zéro plus moins 𝑎 plus un 𝑖. Donc au lieu d’écrire moins un plus 𝑏, je vais écrire 𝑏 moins un.

Donc ça c’est le vecteur position pour 𝑃. Écrivons cela ici. Maintenant il ne reste qu’à trouver le point médian entre 𝐵 prime et 𝑃 prime pour trouver le trésor. Et pour faire cela, il faut trouver la moyenne de ces deux vecteurs position. On les additionne puis on divise par deux. Et cela veut dire qu’il faut simplifier ceci : un moins 𝑏 plus 𝑎 moins un 𝑖 plus 𝑏 moins un moins 𝑎 plus un 𝑖 le tout sur deux. Pensons d’abord aux parties réelles, nous avons un moins 𝑏 plus 𝑏 moins un. Un moins un ne donne rien, et moins 𝑏 plus 𝑏 ne donne rien non plus. Donc cela se simplifie en zéro.

Prenons ensuite les parties imaginaires, tout en faisant attention que ceci est moins 𝑎 moins un, nous avons 𝑎 moins 𝑎 qui ne donne rien. Mais cette fois nous avons moins un moins un autre un, ce qui donne moins deux. Donc cela est simplifié en zéro dans la partie réelle plus moins deux sur deux 𝑖. Et bien sûr moins deux sur deux se simplifie en moins un. Donc c’est zéro plus moins 𝑖, ce qui est bien sûr zéro moins 𝑖, ou tout simplement moins 𝑖. Donc sur notre carte, le trésor se trouve en zéro moins 𝑖.

C’est donc une unité dans le sens négatif sur l’axe des imaginaires, ce qui signifie que cette distance ici est la même que cette distance ici. Mais plus important encore, c’est tout à fait indépendant de 𝑎 et 𝑏. Peu importe où nous commençons notre trajet. Nous terminerons toujours en zéro moins 𝑖. Donc après quelques analyses mathématiques du problème, nous avons déduis une méthode plus facile pour trouver le trésor. Il se trouve sur la bissectrice perpendiculaire du segment entre les deux arbres à une distance égale à la moitié de celle entre les arbres à partir du segment, avec le laurier juste à droite en le regardant. Bonne chasse au trésor !

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