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Vidéo de la leçon : Théorème de Lami Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes concernant l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces coplanaires en utilisant le théorème de Lami.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes concernant l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces coplanaires en utilisant le théorème de Lami.

Quand trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires agissent pour maintenir un objet en équilibre statique, le théorème de Lami peut être utilisé. Ceci indique que 𝐴 sur sinus 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus 𝛽, ce qui est égal à 𝐶 sur sinus 𝛾. Commençons par considérer la démonstration de ce théorème. Considérons trois forces concourantes 𝐴, 𝐵 et 𝐶, ce qui signifie qu’elles agissent au même point que celui indiqué. Nommons 𝛼 l’angle entre la force 𝐵 et la force 𝐶, 𝛽 l’angle entre la force 𝐴 et la force 𝐶, et 𝛾 l’angle entre la force 𝐴 et la force 𝐵. Nous savons que la somme de ces trois angles vaut 360 degrés.

En utilisant les propriétés géométriques, nous pouvons les redessiner sous la forme d’un triangle tel que la somme des forces est égale à la somme vectorielle 𝐁 plus 𝐀 plus 𝐂. Nous savons que pour tout triangle, la règle du sinus stipule que la longueur du côté 𝑎 sur le sinus de 𝐴 majuscule est égal à la longueur du côté 𝑏 sur le sinus de 𝐵 majuscule qui est égal à la longueur du côté 𝑐 sur le sinus de 𝐶 majuscule. En remplaçant les valeurs de la figure, nous avons 𝐴 sur sinus de 180 moins 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus de 180 moins 𝛽, ce qui est égal à 𝐶 sur sinus de 180 degrés moins 𝛾.

Nous savons que le sinus de tout angle 𝐴 est égal au sinus de 180 degrés moins l’angle 𝐴. L’équation se simplifie pour donner 𝐴 sur sinus 𝛼 égal 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égal à 𝐶 sur sinus 𝛾. C’est ce qu’on appelle le théorème de Lami, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les normes des trois vecteurs coplanaires, concourants et non colinéaires 𝐀, 𝐁 et 𝐂 qui maintiennent l’objet en équilibre statique. Et 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les angles directement opposés aux vecteurs. Nous allons maintenant voir quelques exemples où nous pouvons appliquer le théorème de Lami.

Dans la figure donnée, la particule 𝐴 est en équilibre sous l’effet des forces indiquées qui sont en newtons. Trouvez la force 𝐹.

Une façon de résoudre ce problème consiste à utiliser le théorème de Lami. Ceci indique que lorsque nous avons trois forces coplanaires, concourantes, non colinéaires qui maintiennent un objet en équilibre statique, alors 𝐴 sur sinus 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égal à 𝐶 sur sinus 𝛾, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les intensités des forces et 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les angles opposés à ces forces. Dans la figure, on nous donne deux des angles. Ils sont tous deux égaux à 150 degrés. Comme les angles en un point s’ajoutent pour donner 360 degrés, l’angle manquant est de 60 degrés. Remplacer les valeurs dans le théorème de Lami nous donne 31 sur sinus 150 degrés est égal à 31 sur sinus 150 degrés, ce qui est égal à 𝐹 sur sinus 60 degrés.

Si nous considérons les deuxième et troisième parties de l’équation, nous pouvons calculer la valeur de 𝐹. Nous savons que le sinus de 60 degrés est égal à la racine de trois sur deux, et le sinus de 150 degrés est égal à un demi. Ceci signifie que 𝐹 sur racine de trois sur deux est égal à 31 sur un demi. Multiplier des deux membres de l’équation par un demi nous donne 𝐹 sur racine de trois est égal à 31. Nous pouvons alors multiplier les deux membres de cette équation par racine de trois. 𝐹 est égal à 31 racine de trois. On nous dit dans la question que les forces sont en newtons. Par conséquent, la force 𝐹 est égale à 31 racine de trois newtons.

Dans la prochaine question, il sera utile de dessiner une figure avant d’appliquer le théorème de Lami.

Un poids de 90 grammes poids est suspendu par deux cordes inextensibles. La première est inclinée selon un angle 𝜃 par rapport à la verticale, et la seconde est à 30 degrés par rapport à la verticale. Si l’intensité de la tension dans la première corde est de 45 grammes poids, trouvez 𝜃 et l’intensité de la tension 𝑇 dans la deuxième corde.

Nous allons commencer ici par tracer un schéma. On nous dit qu’un poids de 90 grammes poids est suspendu par deux cordes inextensibles comme indiqué. Elles sont inclinées selon des angles 𝜃 et 30 degrés par rapport à la verticale. L’intensité de la tension dans la première corde est de 45 grammes poids. Et nous devons calculer l’intensité de la tension 𝑇 dans la deuxième corde. Comme la somme des angles sur une droite est de 180 degrés, l’angle entre la tension 𝑇 et le poids de 90 grammes poids est de 150 degrés. De la même manière, l’angle entre la tension de 45 grammes-poids et celle de 90 grammes-poids est de 180 moins 𝜃 degrés.

Comme nous avons trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires agissant pour maintenir l’objet en équilibre statique, nous pouvons utiliser le théorème de Lami. D’après ce théorème, 𝐴 sur sinus 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égal à sur sin 𝛾, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les intensités des forces et 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les angles opposés à ces forces. Dans cette question, les trois forces seront 𝑇, 90 et 45. Les angles seront de 180 moins 𝜃, 𝜃 plus 30, et 150. En remplaçant ces valeurs, nous avons 𝑇 sur sinus de 180 moins 𝜃 est égal à 90 sur le sinus de 𝜃 plus 30, qui est égal à 45 sur le sinus de 150.

Considérons les deuxième et troisième parties de cette équation. Le sinus de 150 degrés est égal à un demi. Ainsi, l’équation devient 90 sur sinus 𝜃 plus 30 est égal à 45 sur un demi. 45 divisé par un demi est égal à 90. Et nous pouvons alors multiplier les deux membres par le sinus de 𝜃 plus 30. Diviser les deux membres de cette nouvelle équation par 90 nous donne un est égal à sinus de 𝜃 plus 30. Nous pouvons alors prendre la réciproque de sinus des deux membres de cette équation. Le sinus réciproque de un est égal à 90 degrés. Donc, 90 est égal à 𝜃 plus 30. Soustraire 30 des deux membres de cette équation donne 𝜃 égal 60. La première partie de la réponse est que 𝜃 est égal à 60 degrés.

Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur dans l’équation pour nous aider à calculer 𝑇. En utilisant les deux premières parties de l’équation, nous avons 𝑇 sur sinus de 120 degrés est égal à 90 sur sinus de 90 degrés. Le sinus de 90 degrés est égal à un, et nous pouvons alors multiplier les deux membres par le sinus de 120 degrés. 𝑇 est égal à 90 multiplié par le sinus de 120 degrés. Le sinus de 120 degrés est égal à la racine de trois sur deux. En multipliant ceci par 90, nous obtenons 𝑇 est égal à 45 racine trois. La tension dans la deuxième corde est égale à 45 racines de trois grammes poids. Les deux réponses à cette question sont 𝜃 est égal à 60 degrés et 𝑇 est égal à 45 racines de trois grammes poids.

Dans notre dernière question, nous étudierons à nouveau l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces.

Un corps pesant 12 newtons est attaché à l’extrémité d’une corde inextensible légère. L’autre extrémité de la corde est fixée à un mur vertical. Une force horizontale 𝐹 maintient le corps en équilibre lorsque la mesure de l’angle entre le mur et la corde est de 30 degrés. Trouvez 𝑇, la tension dans la corde, et 𝐹, la force horizontale.

Comme nous avons trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires agissant pour maintenir le corps en équilibre statique, nous pouvons utiliser le théorème de Lami. Ceci indique que 𝐴 sur sinus 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égal à 𝐶 sur sinus 𝛾, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les intensités des forces, dans ce cas, la tension, la force 𝐹, et le poids 12 newtons. Les angles 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont opposés aux forces correspondantes. Nous pouvons voir sur la figure que l’angle entre la force 𝐹 et le poids est de 90 degrés.

En utilisant le fait que la somme des angles d’un triangle est de 180 degrés, la force de tension est de 60 degrés au-dessus de l’horizontale. Ceci signifie que l’angle entre la force de tension et la force du poids est de 150 degrés. La somme des angles en un point vaut 360 degrés. Par conséquent, l’angle entre la force de tension et la force 𝐹 est de 120 degrés. Remplacer les valeurs dans le théorème de Lami nous donne 𝐹 sur sinus de 150 degrés est égal à 𝑇 sur sinus de 90 degrés, ce qui est égal à 12 sur sinus de 120 degrés.

Le sinus de 150 degrés est égal à un demi, le sinus de 90 degrés est égal à un, et le sinus de 120 degrés est égal à racine de trois sur deux. Ceci signifie que le premier terme est égal à 𝐹 sur un demi. Ceci se simplifie pour donner deux 𝐹. Le deuxième terme est égal à 𝑇 sur un qui se simplifie en 𝑇. Le troisième terme est égal à 12 sur la racine de trois sur deux. Ceci donne 24 sur la racine trois.

Nous pouvons rendre rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par la racine de trois. Ceci nous donne 24 racine de trois sur trois, ce qui donne huit racine de trois. Deux 𝐹 est égal à 𝑇 qui est égal à huit racine trois. Ceci signifie que la tension dans la corde 𝑇 est égale à huit racine de trois newtons. Comme ceci est égal à deux 𝐹, la force horizontale 𝐹 sera la moitié de cela. 𝐹 est égal à quatre racine trois newtons. Pour que le corps reste en équilibre, 𝑇 est égal à huit racine de trois newtons et 𝐹 est égal à quatre racine de trois newtons.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Quand il y a trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires agissant pour maintenir un objet en équilibre statique, le théorème de Lami peut être utilisé. Ceci indique que 𝐴 sur sinus 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égal à 𝐶 sur sinus 𝛾, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les intensités des trois forces et 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les angles directement opposés à ces forces.

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