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Vidéo question :: Dériver des fonctions rationnelles à l’aide de la règle du quotient Mathématiques • Deuxième secondaire

Déterminez l’expression de la dérivée première de la fonction définie par = (𝑥 - 93) / (𝑥 + 13).

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Transcription de la vidéo

Déterminez l’expression de la dérivée première de la fonction définie par de 𝑥 égale 𝑥 moins 93 le tout divisé par 𝑥 plus 13.

Nous devons trouver la dérivée première de 𝑦 égale de 𝑥, égale au quotient de deux fonctions. Nous pouvons voir que 𝑦 est une fonction de 𝑥. Cela signifie que nous devons trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et il y a, en fait, plusieurs façons de procéder. Par exemple, nous pourrions utiliser la division algébrique pour réécrire l’expression de 𝑦. Nous pourrions alors évaluer la dérivée de cette expression en utilisant la règle du quotient, la règle de dérivation en chaîne ou la règle générale des puissances, et cela fonctionnerait. Cependant, dans ce cas, nous allons juste évaluer la dérivée de cette expression en utilisant la règle du quotient.

Donc, pour évaluer cette dérivée, nous devons rappeler la règle du quotient. La règle du quotient dit que la dérivée du quotient de deux fonctions 𝑢 sur 𝑣 est égale à 𝑢 prime fois 𝑣 moins 𝑣 prime fois 𝑢 le tout divisé par 𝑣 au carré. Nous allons définir 𝑢 de 𝑥 comme étant la fonction au numérateur, c’est-à-dire 𝑥 moins 93, et 𝑣 de 𝑥 comme étant la fonction au dénominateur, c’est 𝑥 plus 13. Nous voyons que pour appliquer la règle du quotient, nous devons trouver des expressions pour 𝑢 prime et 𝑣 prime.

Commençons par 𝑢 prime de 𝑥. C’est la dérivée de la fonction linéaire 𝑥 moins 93 par rapport à 𝑥. Bien sûr, il s’agit d’une fonction linéaire, donc sa pente sera égale au coefficient de 𝑥, qui dans ce cas est égal à un. Et bien sûr, nous pouvons faire exactement la même chose pour trouver 𝑣 prime de 𝑥. C’est la dérivée de la fonction linéaire 𝑥 plus 13 par rapport à 𝑥, qui sera le coefficient de 𝑥, c’est-à-dire un. Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥 en utilisant la règle du quotient. C’est égal à 𝑢 prime de 𝑥 fois 𝑣 de 𝑥 moins 𝑣 prime de 𝑥 fois 𝑢 de 𝑥 le tout divisé par 𝑣 de 𝑥 au carré.

En substituant dans nos expressions pour 𝑢 de 𝑥, 𝑣 de 𝑥, 𝑢 prime de 𝑥 et 𝑣 prime de 𝑥, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à une fois 𝑥 plus 13 moins une fois 𝑥 moins 93 le tout divisé par 𝑥 plus 13 le tout au carré. Bien sûr, nous pouvons commencer à simplifier. Premièrement, multiplier par un ne modifie aucune des valeurs au numérateur. Et cela nous laisse avec un nouveau numérateur de 𝑥 plus 13 moins 𝑥 moins 93. Ensuite, nous allons distribuer le moins un sur nos parenthèses. Et si nous faisons cela, nous obtenons moins 𝑥 plus 93.

Maintenant, le numérateur de l’expression est 𝑥 plus 13 moins 𝑥 plus 93, et nous pouvons simplifier davantage. Nous pouvons annuler 𝑥 moins 𝑥 pour avoir zéro. Et enfin, au numérateur, 13 plus 93 est égal à 106. Nous avons donc montré que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 106 divisé par 𝑥 plus 13 le tout au carré, et ceci est notre réponse finale. Par conséquent, en utilisant la règle du quotient, nous avons pu montrer que si 𝑦 est égal à 𝑥 moins 93 le tout divisé par 𝑥 plus 13, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à 106 divisé par 𝑥 plus 13 le tout au carré.

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