Vidéo de la leçon: Addition et soustraction des racines carrées Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir quelques expressions dans lesquelles on additionne ou soustrait des termes qui contiennent des racines. Nous allons examiner les expressions où ces termes peuvent être regroupés comme des termes semblables afin que les expressions puissent être simplifiées. Les termes racines qui ne peuvent pas être simplifier peuvent être regroupés dans des expressions algébriques de la même manière que vous regroupés des termes contenant des variables comme trois 𝑥 et cinq 𝑥, ou deux 𝑦 et sept 𝑦, etc.

En observant cet exemple, simplifiez la racine carrée de sept plus la racine carrée de sept.

Imaginons maintenant qu’on pose 𝑥 égale à racine de sept. Ainsi, nous pouvons exprimer la racine carrée de sept plus la racine carrée de sept d’une manière différente. Ce serait 𝑥 plus 𝑥. Maintenant, en observant 𝑥 plus 𝑥, on peut regrouper très heureusement ces termes semblables. On additionne un 𝑥 et un autre 𝑥 et on obtient deux 𝑥. Et puisque on vient de dire ici que 𝑥 est égal à la racine carrée de sept, deux 𝑥 signifie deux fois la racine carrée de sept, qu’on écrit comme ceci, deux racine carrée de sept.

Maintenant, il est important de se rappeler qu’un grand deux devant cela signifie que c’est deux fois la racine carrée de sept. Et vous devez faire attention à ne pas confondre cela avec cette expression, qui est le petit deux dans ce signe racine carrée, qui signifie la racine carrée de sept.

Voici un autre exemple.

Simplifiez la racine cubique de trois plus deux fois la racine cubique de trois plus trois fois la racine cubique de trois.

Le premier terme, la racine cubique de trois, signifie que nous avons une des racines. Donc, on pourrait dire que c’est un fois la racine cubique de trois. Donc, nous avons l’une des racines cubiques de trois. Nous avons deux autres de la racine cubique de trois. Et puis, nous avons trois autres en plus, de ces racines cubiques de trois. Donc, au total, un plus deux donne trois, plus trois donne six. Nous avons six, six fois la racine cubique de trois. Voilà notre réponse.

Maintenant, nous devons simplifier la racine carrée de huit plus trois fois la racine carrée de deux moins quatre fois la racine carrée de deux.

Ces deux seconds termes ici sont clairement des termes semblables. Nous avons trois fois la racine carrée de deux, puis nous soustrayons quatre fois la racine carrée de deux. Donc, si nous avons trois et que nous en soustrayons quatre, nous nous retrouvons avec moins un, ou nous écrivons simplement moins racine carrée de deux. Ainsi, cela devient racine carrée de huit moins racine de deux. Mais attendez, huit a un diviseur carré parfait. Quatre est un nombre carré parfait et c’est un diviseur de huit, donc la racine carrée de huit peut être écrite comme la racine carrée de quatre fois deux. Et cela peut être écrit comme la racine carrée de quatre fois la racine carrée de deux.

Maintenant, la racine carrée de quatre vaut deux. Ainsi, la racine carrée de quatre fois la racine carrée de deux vaut deux fois la racine de deux, ou comme nous l’écririons normalement deux racine carrée de deux. Ainsi, la racine carrée de huit moins la racine de deux peut être réécrite comme deux racine carrée de deux moins un racine carrée de deux. Et deux racine de deux moins une racine de deux n’est que un racine carrée de deux. Ainsi, évidemment, nous ne prendrions pas la peine d’écrire le un qui se trouve devant la racine, donc c’est juste la racine carrée de deux.

Maintenant, nous avons une expression légèrement plus compliquée impliquant la racine carrée de 11 et aussi juste quelques nombres n’impliquant pas de racines. Donc, six et moins trois sont les nombres sans racine. Et quatre racine carrée de 11 et deux racine carrée de 11 sont des termes semblables car ils contiennent tous deux la racine carrée de 11. Ce sont des racines. Nous avons donc regroupé les termes semblables et nous pouvons maintenant les additionner. Six moins trois, c’est trois. Et quatre racine carrée de 11 plus une autre deux racine carrée de 11 me donnent six racine carrée de 11. Voilà notre réponse.

Alors, voici un autre exemple, cette fois avec des parenthèses.

Simplifiez deux plus six racine carrée de cinq plus neuf plus huit racine carrée de cinq.

Maintenant, ici, les parenthèses n’ont pas vraiment d’effet. Ils vous disent de faire les calculs dans un ordre particulier, mais les opérations sont toutes des additions. Et en raison de l’associativité de l’addition, cela ne fera aucune différence si vous les faites dans un ordre différent. Donc, nous allons simplement supprimer les parenthèses pour l’instant, puis nous regroupons les termes semblables. Eh bien, deux et neuf sont des nombres rationnels, et six racine carrée de cinq et huit racine carrée de cinq sont des termes contenant des racines carrées.

Donc, maintenant que nous avons regroupé les termes semblables, nous pouvons les additionner. Et deux et neuf donnent 11. Et puis, six racine carrée de cinq plus huit racine carrée de cinq nous donnent 14 racine carrée de cinq. Voilà, c’est la version simplifiée de notre expression initiale.

Alors, regardons notre dernier exemple.

Simplifiez la racine carrée de sept moins deux moins cinq moins trois racine carrée de sept.

Maintenant, ici, les parenthèses sont importantes. Les premières parenthèses n’ont pas vraiment d’effet car racine carrée de sept moins deux est effectivement déjà à la forme la plus simple, vous ne pouvez donc pas simplifier davantage. Mais les secondes parenthèses sont très importantes. Ainsi, nous pouvons supprimer les premières parenthèses. Mais avec ce signe moins, nous soustrayons cinq, et nous soustrayons moins trois racine carrée de sept. Donc, ça ressemble à cela. Maintenant, si nous supprimons moins trois racine carrée de sept, cela revient à ajouter trois racine carrée de sept.

Donc, nous sommes maintenant dans une situation où nous pouvons identifier les termes semblables. Donc, ce sont ceux avec les racines, les racines de sept. Et ceux ne sont que des nombres rationnels. Donc, nous avons un racine carrée de sept plus une autre trois racine carrée de sept nous donnant quatre racine carrée de sept. Et nous avons moins deux moins cinq, ce qui donne moins sept. Voilà, c’est la version simplifiée de notre expression initiale.

Donc, pour résumer ce que nous avons fait, vous pouvez traiter les racines comme s’ils étaient des termes algébriques. Ainsi, par exemple, si nous avons trois racine carrée de sept plus cinq racine carrée de sept, nous pouvons poser 𝑥 égale racine carrée de sept. Et nous pouvons alors penser à cela comme étant trois fois 𝑥 plus cinq fois 𝑥. Donc, si nous avons trois et cinq, cela fait huit. Et puis, nous pouvons remplacer notre racine carrée de sept par 𝑥, nous donnant huit racine carrée de sept.

Et vous devez bien faire attention aux parenthèses. Comme nous l’avons vu parfois, elles n’ont pas vraiment d’effet, et vous pouvez simplement les supprimer. Et d’autres fois, elles ont un grand effet, et vous devez être très très prudent. Et faites attention aux signes en particulier.