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Vidéo de la leçon : Équations en une seule étape : addition et soustraction Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment écrire et résoudre des équations d’addition et de soustraction en une seule étape dans des questions ainsi que dans des problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire et à résoudre des équations d’addition et de soustraction en une seule étape, en accordant une attention particulière aux propriétés additives d’une égalité. Avant de commencer à écrire et à résoudre des équations, voyons ce que nous connaissons sur les équations.

Une équation est une affirmation mathématique selon laquelle quelque chose égale une autre chose. Par exemple, nous pourrions dire que cinq égale cinq. Si nous devions prendre ce bloc de plus trois et le placer au côté gauche de cette équation, alors la balance serait soudainement déséquilibrée. Vous auriez huit à gauche et seulement cinq à droite. Mais si nous prenions un bloc de plus trois et le placions à droite, la balance se rééquilibrerait car les deux côtés égaleraient huit. Cela illustre la propriété d’addition dans une égalité. Elle nous dit que si vous ajoutez la même valeur des deux côtés d’une équation, les deux côtés restent égaux. Cela s’applique également à la soustraction. Pour revenir à notre égalité cinq égale cinq, si nous soustrayons trois des deux côtés de l’équation, nous obtenons deux de chaque côté et l’équation est équilibrée. Et donc, nous pouvons dire que si vous soustrayez la même valeur des deux côtés d’une équation, les côtés restent égaux.

Considérons une autre propriété : la propriété de l’opposé de l’addition. Celle-là nous dit que tout nombre ajouté à son opposé sera égal à zéro. L’inverse de moins trois est plus trois. Cela signifie que si nous ajoutons trois aux deux côtés de l’équation, à gauche, nous aurons cinq plus zéro, ce qui égale cinq. Et la même chose se passera à droite. Cinq plus zéro égale cinq. Ces trois propriétés sont des outils dont nous aurons besoin pour nous aider à résoudre des équations en une seule étape.

Mais qu’est-ce que cela signifie, « résoudre une équation » ? Si nous avons une équation comme celle-ci, 𝑥 plus trois égale cinq, nous avons une valeur inconnue qui est représentée par une variable 𝑥. Pour résoudre l’équation, nous trouvons la valeur inconnue qui rend l’affirmation vraie. Si nous nous demandons quelle valeur plus trois donne cinq, nous savons que deux plus trois égale cinq. Et donc, nous disons que 𝑥 vaut deux. Ici, nous appellerons deux la solution de l’équation. La solution est la valeur inconnue qui rend l’affirmation vraie. Et cela signifie que dans une question on pourrait vous demander de résoudre l’équation. Ou alors, quelle est la solution de l’équation ?

Voyons donc un exemple.

Sachant que cinq plus 𝑛 est égale moins cinq, déterminez la valeur de 𝑛.

Nous avons l’équation suivante : cinq plus 𝑛 égale moins cinq. Cela nous dit que lorsque nous ajoutons une certaine valeur à cinq, le résultat est moins cinq. Pour déterminer la valeur de 𝑛, il faut penser à la propriété de l’opposé de l’addition. Selon la propriété de l’opposé de l’addition, tout nombre ajouté à son opposé sera égal à zéro. Puisque cinq et 𝑛 sont additionnés, si nous soustrayons cinq, alors cinq moins cinq sera égal à zéro. Mais nous connaissons également la propriété de soustraction de l’égalité, qui nous dit que si nous soustrayons cinq d’un côté de l’équation, nous devons soustraire cinq de l’autre côté de l’équation pour la garder bien équilibrée. Si cinq moins cinq égale zéro, alors du côté gauche du signe égal, nous n’avons que la variable 𝑛. Et du côté droit, nous avons moins cinq moins cinq, soit moins 10. Ainsi, nous avons trouvé que 𝑛 égale moins 10.

Si vous commencez avec cinq et que vous ajoutez moins 10 à ce cinq, vous obtiendrez moins cinq. C’est une méthode verticale pour résoudre le problème. Nous le faisons en écrivant la ligne suivante juste sous la ligne au-dessus. L’autre façon de résoudre serait d’utiliser une méthode horizontale. Nous avons commencé avec cinq plus 𝑛 égale moins cinq. Mais ensuite, à la ligne suivante, nous allons ajouter moins cinq dans la ligne avec notre équation initiale. Ainsi, on dit que cinq moins cinq plus 𝑛 égale moins cinq moins cinq. Les deux méthodes montrent que 𝑛 égale moins 10.

Voici un autre exemple.

Résolvez pour 𝑥 : 𝑥 plus 4.8 égale moins 8.9.

Cette équation nous dit que lorsque nous ajoutons 4.8, une certaine valeur égale moins 8.9. Lorsque nous voyons le mot « résolvez » ici, cela signifie que nous voulons savoir quelle valeur de 𝑥 rend cette affirmation vraie. Si dans l’équation on a plus 4.8, pour la résoudre, nous devrons faire l’inverse de l’addition de 4.8. La propriété de l’opposé indique que tout nombre ajouté à son opposé sera égal à zéro. Mais nous savons également, selon la propriété de soustraction de l’égalité, que si nous soustrayons 4.8 du côté gauche de l’équation, nous devons soustraire 4.8 du côté droit de l’équation pour nous assurer qu’ils restent égaux. Nous avons maintenant sur la gauche 𝑥 plus zéro. Nous pouvons simplement écrire cela comme 𝑥. Et puis, nous avons un moins 8.9 moins 4.8, ce qui équivaut à moins 13.7. Si nous avons calculé correctement, alors nous pouvons ajouter moins 13.7 pour 𝑥. Et notre affirmation serait vraie.

Nous devons savoir si moins 13.7 plus 4.8 égale 8.9. Si nous voulons ajouter 4.8 à moins 13.7, nous soustrayons d’abord les deux valeurs, ce qui nous donne 8.9, puis nous prenons le signe du plus grand nombre. 13.7 est négatif. Ainsi, la réponse finale sera négative. Moins 13.7 plus 4.8 égale bien 8.9, ce qui signifie que la solution de 𝑥 est moins 13.7.

Pour l’exemple suivant, nous devrons d’abord écrire une équation et ensuite la résoudre.

William joue à un jeu de société. Il avance 10 cases à partir du point de départ. Au tour suivant, il recule de six cases. À combien de cases du point de départ se trouve-t-il maintenant ?

Si William commence au départ et qu’il avance de 10 cases. Au tour suivant, il recule de six cases. Nous voulons savoir le nombre de cases qui l’éloignent du départ. Nous pouvons utiliser la variable 𝑥 pour cette valeur inconnue. Quel genre d’équation pouvons-nous écrire pour modéliser la situation ? Nous pouvons l’écrire de plusieurs façons différentes. Tout d’abord, William a avancé de 10 cases. Nous pouvons donc commencer avec plus 10. Puis, il a reculé de six cases. Nous pouvons représenter cela mathématiquement par moins six. Si vous prenez 10 et que vous soustrayez 6, vous obtenez 𝑥, le nombre de cases qui l’éloignent du point de départ. 10 moins six égale quatre. Et cela signifie que la valeur de 𝑥 est quatre.

La façon dont l’équation est écrite actuellement : quatre égale 𝑥. Mais il est bon de la réarranger d’une manière plus courante : 𝑥 égale quatre. 10 moins six égale 𝑥 n’est qu’une façon de modéliser cette situation à l’aide d’une équation. On pourrait dire que 𝑥 — le nombre de cases à partir de la case où William a commencé — plus les six cases en arrière doivent égaler les 10 cases en avant. Si 𝑥 plus six égale 10, alors nous pouvons résoudre le problème en soustrayant six aux deux côtés de l’équation. 𝑥 plus six moins six égale 𝑥 plus zéro, ce qui donne 𝑥, et 10 moins six égale quatre. Les deux méthodes nous montrent que William est à quatre cases du départ.

Voici un autre exemple de problème.

En 2016, le Mississippi et la Géorgie ont obtenu un total de 21 votes électoraux. Si le Mississippi a eu six votes électoraux, résolvez l’équation six plus 𝑔 égale 21 pour trouver le nombre de votes électoraux 𝑔 que la Géorgie a eu.

Ici, nous avons en fait une équation : six plus 𝑔 égale 21. Et notre objectif est de déterminer 𝑔. Pour résoudre 𝑔, nous voulons mettre 𝑔 seule. Nous voulons isoler cette variable 𝑔. Pour ce faire, nous avons besoin de la propriété de l’inverse de l’addition, qui nous dit que toute valeur ajoutée à son opposé donne zéro. Pour isoler 𝑔, nous voulons nous débarrasser de six. Et nous pouvons le faire en soustrayant six. Six moins six égale zéro. Mais nous savons aussi que pour garder les deux côtés de cette équation égaux, si nous soustrayons six d’un côté, alors nous devons soustraire six de l’autre côté. Sur la gauche, ce serait zéro plus 𝑔. Ou nous pouvons écrire cela simplement comme 𝑔. Et à droite, 21 moins six égale 15. Et donc, nous avons trouvé que 𝑔 égale 15. Il vaut la peine de vérifier si cela est correct. Est-ce que six plus 15 égale 21 ? Oui, c’est vrai. Cela nous montre que 𝑔 est en fait 15. Donc, la Géorgie avait 15 voix et le Mississippi en avait six.

Nous allons voir un dernier exemple.

Un plongeur commence à remonter vers la surface. Il remonte 20 mètres jusqu’à son palier de décompression suivant et doit remonter de 32 mètres supplémentaires pour retourner à la surface. Écrivez et résolvez une équation de soustraction pour déterminer la profondeur initiale du plongeur avant qu’il ne commence à remonter.

Le plongeur a commencé à une profondeur que nous ne connaissons pas. Nous pouvons appeler cette étape 𝑥. Nous savons que le plongeur est remonté 20 mètres et qu’il doit encore remonter 32 mètres avant d’atteindre la surface. Nous voulons écrire et résoudre une équation de soustraction pour trouver 𝑥, la profondeur initiale du plongeur. Si nous avons commencé par 𝑥, le plongeur est à 𝑥 mètres de profondeur et il monte de 20 mètres. Mathématiquement, nous devons représenter cela par une soustraction parce qu’il n’est pas aussi profond qu’il l’était auparavant. Même s’il monte, il devient moins profond. C’est sa profondeur initiale moins les 20 mètres qu’il a remontés. Et 𝑥 moins les 20 mètres de montée sera égale aux 32 mètres qui restent, ce qui signifie que l’équation est 𝑥 moins 20 égale 32.

Pour résoudre cette équation, on ajoute 20 aux deux côtés. 32 plus 20 égale 52. Et donc, nous pouvons dire que la profondeur initiale du plongeur était de 52 mètres. Nous avons écrit un problème de soustraction. Et nous avons résolu la profondeur manquante pour montrer que la profondeur initiale du plongeur avant qu’il ne commence à remonter était de 52 mètres.

Nous allons maintenant réfléchir aux points clés qui sont nécessaires pour résoudre les équations d’addition et de soustraction en une seule étape. Résoudre des équations, c’est trouver la ou les valeurs de la variable qui vérifient l’équation. Ces valeurs qui vérifient l’équation sont appelées solutions. Pour résoudre des équations, nous utilisons la propriété additive de l’égalité, qui nous dit que si nous ajoutons ou soustrayons quelque chose d’un côté de l’équation, nous devons faire la même chose de l’autre côté de l’équation pour qu’elle reste équilibrée. Et enfin, nous connaissons la propriété de l’opposé de l’addition, qui nous dit que si nous ajoutons à une valeur la valeur de son opposé, alors le résultat est zéro. En utilisant ces points clés, vous pouvez écrire et résoudre des équations d’addition et de soustraction en une seule étape.

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