Pop Video: Ce qu’ils ne vous enseigneront pas en Analyse

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Imaginez-vous comme un étudiant précoce en analyse sur le point de commencer votre premier cours. Les mois à venir vous réservent beaucoup de travail, quelques exemples intéressants, des exemples pas très intéressants. Belles connexions à la physique, pas si belles piles de formules à mémoriser. De nombreux moments de coincement et de tapage de tête contre un mur, quelques beaux moments « Ahah » sont également éparpillés. Et une intuition graphique vraiment charmante pour vous guider à travers tout cela.

Mais si le cours qui vous attend ressemble à quelque chose de comparable à ma première introduction au calcul ou à l’un des premiers cours que j’ai vus ces dernières années. Il y a un sujet que vous ne verrez pas, mais qui, à mon avis, va grandement accélérer votre apprentissage. Vous voyez, presque toutes les intuitions visuelles de cette première année sont basées sur des graphiques. La dérivée est la pente d’un graphique. L’intégrale est une certaine zone sous ce graphique. Mais lorsque vous généralisez le calcul au-delà des fonctions dont les entrées et les sorties sont simplement des nombres, il n’est pas toujours possible de représenter graphiquement la fonction que vous analysez. Il y a toutes sortes de façons différentes de visualiser ces choses.

Donc, si toutes vos intuitions pour les idées fondamentales, comme les dérivées, sont trop rigides dans les graphiques. Cela peut constituer un obstacle conceptuel très grand et en grande partie inutile entre vous et des sujets plus avancés, citations plus approximatives, comme le calcul différentiel à plusieurs variables et l’analyse complexe, la géométrie différentielle. Maintenant, ce que je veux partager avec vous est une façon de penser aux dérivées, que je qualifierai de vue transformationnelle, qui se généralise de manière plus transparente dans certains de ces contextes plus généraux dans lesquels le calcul apparaît. Nous utiliserons ensuite cette autre vue pour analyser un certain casse-tête amusant relatif aux fractions répétées.

Mais pour commencer, je veux juste m’assurer que nous sommes tous sur la même longueur d’onde en ce qui concerne le visuel standard. Si vous deviez représenter graphiquement une fonction, elle prend simplement des nombres réels en entrée et en sortie. Une des premières choses que vous apprenez dans un cours de calcul est que la dérivée vous donne la pente de ce graphique. Nous entendons par là que la dérivée de la fonction est une nouvelle fonction qui, pour chaque entrée 𝑥, renvoie cette pente. Maintenant, je vous encourage à ne pas penser à cette idée de dérivée en tant que pente comme étant la définition d’un dérivé. Au lieu de cela, considérez-le comme étant plus fondamentalement lié à la sensibilité de la fonction à de minuscules bouffées d’entour. Et la pente n’est qu’un moyen de penser à cette sensibilité qui ne concerne que cette manière particulière de visualiser les fonctions. Je n’ai pas simplement une autre vidéo, mais une série complète sur ce sujet si vous souhaitez en savoir plus.

Maintenant, l’idée de base du visuel alternatif pour la dérivée est de penser que cette fonction mappe tous les points d’entrée de la droite numérique vers leurs sorties correspondantes sur une droite numérique différente. Dans ce contexte, la dérivée vous donne une mesure de l’étendue ou de l’écrasement de l’espace d’entrée dans diverses régions. Autrement dit, si vous zoomez sur une entrée spécifique et regardez quelques points équidistants autour de celle-ci, la dérivée de la fonction de cette entrée vous indiquera l’étendue ou la contraction de ces points après la cartographie.

Ici, un exemple spécifique aide. Prendre la fonction 𝑥 au carré. Elle associe un à un et deux à quatre, trois à neuf et ainsi de suite. Et vous pouvez également voir comment il agit sur tous les points entre les deux. Et si vous deviez zoomer sur un petit groupe de points autour de l’entrée et voir ensuite où ils atterrissaient autour de la sortie appropriée, qui pour cette fonction se trouve être également un. Vous remarquerez qu’ils ont tendance à être allongés. En fait, cela ressemble en gros à un allongement de deux. Et plus vous zoomez, plus ce comportement local ressemble à une multiplication par deux. C’est ce que cela signifie pour que la dérivée de 𝑥 au carré en l’entrée 𝑥 est égale à un. C’est à quoi ressemble ce fait dans le contexte des transformations.

Si vous examinez un voisinage de points autour de la troisième entrée, ils seront approximativement multipliés par six. C’est ce que cela signifie pour que la dérivée de cette fonction à l’entrée trois soit égale à six. Aux alentours du quart de l’intrant, une petite région a tendance à être contractée, en particulier par un facteur de moitié. Et c’est ce qui se passe pour une dérivée inférieure à un. Maintenant, le zéro d’entrée est intéressant. En zoomant par un facteur de 10, cela ne ressemble pas vraiment à un étirement ou à un écoulement constant. D’une part, toutes les sorties se retrouvent du bon côté des choses. Et comme vous zoomez plus en plus proche de 100𝑥 ou 1000𝑥, il semble de plus en plus comme un petit quartier de points autour de zéro, devient juste effondré sur lui-même zéro.

Et voici à quoi il ressemble pour la dérivée de zéro. Le comportement local ressemble de plus en plus à la multiplication de la droite numérique par zéro. Il n’est pas nécessaire que tout soit complètement réduit à un point donné à un niveau de zoom particulier. Au lieu de cela, le comportement limitant dépend du zoom de plus en plus rapproché. Il est également instructif d’examiner les entrées négatives ici. Les choses commencent à se sentir un peu à l’étroit puisqu’elles entrent en collision avec toutes les valeurs d’entrée positives. Et c’est l’un des inconvénients de la réflexion sur les fonctions en tant que transformations. Mais pour les produits dérivés, nous ne tenons vraiment compte que du comportement local de toute façon, de ce qui se passe dans une petite plage autour d’une entrée donnée.

Ici, remarquez que les entrées d’un petit quartier voisin, disons négatives deux. Ils ne sont pas simplement étendus. Ils sont également retournés. Spécifiquement, l’action sur un tel voisinage ressemble de plus en plus à la multiplication par le nombre négatif quatre, plus le zoom est rapproché. C’est ce à quoi il ressemble pour la dérivée d’une fonction négative. Et je pense que vous obtenez le point. C’est très bien, mais voyons en quoi cela est utile pour résoudre un problème, un de mes amis m’a récemment posé une question amusante sur la fraction infinie un plus un divisé par un plus un divisé par un plus un divisé par un, et encore et encore et encore et encore. Et visiblement, vous regardez des vidéos de mathématiques en ligne. Alors peut-être que vous avez déjà vu cela auparavant.

Mais la question de mon collègue touche en fait à quelque chose auquel vous n’aviez peut-être pas pensé auparavant, qui est pertinent pour la vision des produits dérivés que nous examinons ici. La façon typique que vous pourriez évaluer une expression comme celui-ci est de le mettre égal à 𝑥 puis notez qu’il y a une copie de la fraction complète à l’ intérieur lui-même. Vous pouvez donc remplacer cette copie par un autre 𝑥, puis résoudre simplement pour 𝑥. Autrement dit, ce que vous voulez est de trouver un point fixe de la fonction un plus un divisé par 𝑥. Mais voici la chose. Il y a en fait deux solutions pour 𝑥, deux nombres spéciaux où un plus un divisé par ce nombre vous rend la même chose. Le premier est le nombre d’or 𝜑, autour de 1.618. Et l’autre est moins 0.618, qui se trouve être moins un divisé par 𝜑. J’aime appeler cette autre numéro 𝜑 petit frère. Depuis à peu près toute propriété que 𝜑 a, ce nombre a également.

Et cela soulève la question, serait-il valide de dire que cette fraction infinie que nous avons vue est aussi égale au petit frère de 𝜑, moins 0.618 ? Peut-être que vous dites initialement : « Évidemment pas ! Tout ce qui se trouve à gauche est positif. Alors, comment pourrait-il être égal à un nombre négatif ?» Eh bien, tout d’abord, nous devrions bien comprendre ce que nous entendons par une expression comme celle-ci. Une façon d’y penser — et ce n’est pas le seul moyen; il y a la liberté de choix ici — est d’imaginer en commençant par une constante comme l’ un, puis à appliquer à plusieurs reprises la fonction un plus un divisé par 𝑥. Et ensuite, en demandant quelle est cette approche, alors que vous continuez. Et certainement, symboliquement, ce que vous obtenez ressemble de plus en plus à notre fraction infinie. Alors peut-être que si vous vouliez être égal à un nombre, vous devriez demander à quoi cette série de nombres est proche.

Et si tel est votre point de vue, vous pouvez peut-être commencer par un nombre négatif. Ce n’est donc pas si fou que l’expression entière finisse par être négative. Après tout, si vous commencez avec moins un divisé par 𝜑, puis en appliquant cette fonction un plus un sur 𝑥, vous revenez le même nombre, moins un divisé par 𝜑. Donc peu importe le nombre de fois que vous l’appliquez, vous restez fixé à cette valeur. Mais même dans ce cas, il y a une raison pour laquelle vous devriez probablement considérer 𝜑 comme le frère préféré de cette paire.

Ici, essayez ceci. Trouve une calculatrice, puis commence par un nombre quelconque. Et puis branchez dans cette fonction, un plus un divisé par 𝑥. Et puis branchez ce numéro dans un plus un sur 𝑥. Et puis encore et encore et encore et encore et encore. Peu importe la constante avec laquelle vous commencez, vous finissez par atteindre 1.618. Même si vous commencez avec un nombre négatif, même celui qui est vraiment, vraiment proche de 𝜑 petit frère. Finalement, il se dérobe à cette valeur et saute en arrière sur 𝜑. Alors qu’est-ce qui se passe ici ? Pourquoi l’un de ces points fixes est-il privilégié par rapport à l’autre ? Peut-être pouvez-vous déjà voir comment la compréhension transformationnelle des dérivées sera utile pour comprendre cette configuration. Mais, par souci de contraste, je voudrais vous montrer comment un problème comme celui-ci est souvent enseigné à l’aide de graphiques.

Si vous deviez connecter une entrée aléatoire à cette fonction, la 𝑦 valeur vous indiquera la sortie correspondante, non ? Donc, pour penser à rebrancher cette sortie dans la fonction, vous pouvez d’abord vous déplacer horizontalement jusqu’à ce que vous atteigniez la droite 𝑦 est égal à 𝑥. Et cela vous donne une position où va la valeur 𝑥 correspond à votre précédente valeur 𝑦, non ? Ainsi, à partir de là, vous pouvez vous déplacer verticalement pour voir le résultat de cette nouvelle valeur 𝑥. Et puis vous répétez. Vous vous déplacez horizontalement vers la droite 𝑦 est égal à 𝑥 pour trouver un point dont la valeur 𝑥 est identique à la sortie que vous venez de recevoir. Et puis vous vous déplacez verticalement pour appliquer la fonction à nouveau.

Personnellement, je pense que c’est une façon maladroite de penser à l’application répétée d’une fonction, n’est-ce pas ? Je veux dire que cela a du sens, mais vous devez faire une pause et réfléchir à la chose pour vous rappeler de quelle manière tracer les droites. Et vous pouvez, si vous le souhaitez, réfléchir aux conditions qui permettent à ce processus de toile d’araignée de se focaliser sur un point fixe plutôt que de s’en éloigner. Et en fait, allez-y ! Faites une pause maintenant et essayez de réfléchir comme un exercice. Cela a à voir avec les pentes. Ou si vous voulez sauter l’exercice pour quelque chose qui, je pense, donne une compréhension beaucoup plus satisfaisante, réfléchissez à la façon dont cette fonction agit comme une transformation.

Je vais donc commencer par dessiner tout un tas de flèches pour indiquer où iront les différents points d’entrée échantillonnés. Et note latérale, vous ne pensez pas que cela donne un motif émergent vraiment net ? Je ne m’y attendais pas, mais c’était cool de le voir apparaître lors de l’ animation. Je suppose que l’action d’un divisé par 𝑥 donne ce joli cercle émergent. Et puis nous ne faisons que déplacer les choses d’une unité à l’autre. Quoi qu’il en soit, je veux que vous pensiez à ce que cela signifie d’appliquer de manière répétée une fonction, comme un plus un plus 𝑥, dans ce contexte. Eh bien, après lui avoir laissé cartographier toutes les entrées vers les sorties, vous pouvez les considérer comme les nouvelles entrées. Et ensuite, appliquez à nouveau le même processus, puis à nouveau. Et faites-le autant de fois que vous le souhaitez.

Remarquez qu’en animant ceci avec quelques points représentant les exemples de points, il ne faut pas beaucoup d’itérations avant que toutes ces sortes de points ne se regroupent autour de 1.618. Rappelons-nous maintenant que nous savons que 1.618 et son petit frère, moins 0.618, restent immobiles à chaque itération de ce processus. Mais zoomer sur un quartier autour de 𝜑. Au cours de la carte, les points dans cette région se contractés autour de 𝜑. Cela signifie que la fonction un plus un sur 𝑥 a une dérivée avec une valeur absolue inférieure à un à cette entrée. En fait, cette dérivée semble être autour de 0.38. Cela signifie donc que chaque application répétée élimine de plus en plus le voisinage autour de ce nombre, comme une attraction gravitationnelle vers 𝜑. Alors maintenant, dites-moi ce que vous pensez qui se passe dans le voisinage de 𝜑 petit frère.

Là-bas, la dérivée a en réalité une valeur absolue supérieure à un. Ainsi, les points proches du point fixe en sont repoussés. Et lorsque vous vous en sortez, vous pouvez constater qu’ils sont étirés de plus d’un facteur deux à chaque itération. Ils sont également retournés parce que la dérivée est négative ici. Mais le fait saillant pour la stabilité est juste la valeur absolue. Les mathématiciens appelleraient cette valeur de droite un point fixe stable, et celle de gauche un point fixe instable. Une chose est considérée comme stable si, lorsque vous la perturbez un petit peu, elle a tendance à revenir à son point de départ plutôt que de s’en éloigner. Nous constatons donc un fait très utile, à savoir que la stabilité d’un point fixe est déterminée par le fait que la valeur absolue de sa dérivée soit strictement supérieure ou inférieure à un.

Et cela explique pourquoi 𝜑 apparaît toujours dans le jeu numérique où vous frappez sans cesse sur votre calculatrice, mais que le petit frère de 𝜑 ne le fait jamais. Maintenant, pour savoir si vous voulez considérer ou non 𝜑 petit frère une valeur valide de la fraction infinie, eh bien, c’est vraiment à vous. Tout ce que nous venons de montrer suggère que si vous pensez que cette expression représente un processus limitant. Ensuite parce que toutes les valeurs possibles de semences autres que 𝜑 petit frère vous donne une série de conversion à 𝜑, il ne se sent un peu idiot de les mettre sur un pied d’ égalité avec l’autre. Mais peut-être que vous n’y pensez pas comme une limite. Peut-être que le genre de calcul que vous faites se prête à traiter cet objet comme un objet purement algébrique, comme les solutions d’un polynôme qui a simplement de multiples valeurs. Quoi qu’il en soit, c’est à côté du point.

Et ce que je veux dire ici, ce n’est pas que regarder les dérivées comme ce changement de densité est en quelque sorte meilleur que l’intuition graphique dans son ensemble. En fait, décrire une fonction entière de cette façon peut être un peu fastidieux et peu pratique par rapport aux graphiques. Mon argument est qu’il mérite davantage d’être mentionné dans la plupart des cours d’initiation au calcul. Parce que cela peut aider un étudiant à comprendre la dérivée un peu plus flexible. Comme je l’ai mentionné, la vraie raison pour laquelle je vous recommanderais de conserver cette perspective à mesure que vous apprenez de nouveaux sujets, ce n’est pas tant pour ce qu’elle fait avec votre compréhension du calcul à variable unique, mais pour ce qui vient après.

Il existe de nombreux sujets généralement enseignés dans un département de mathématiques de collège — comment puis-je dire ceci à la légère ? Ne pas avoir la réputation d’être super accessible. Ainsi, dans la vidéo suivante, je vais vous montrer comment quelques idées tirées de ces sujets aux noms compliqués, comme les fonctions holomorphes et le déterminant jacobien, ne sont en réalité que des extensions de l’idée présentée ici. Ce sont vraiment de belles idées, qui, je pense, peuvent être appréhendées dans un très large éventail de domaines mathématiques. Et ils sont pertinents pour un nombre surprenant d’idées apparemment sans rapport. Alors restez à l’écoute pour cela.