Video Transcript
Dans cette vidéo, nous parlons du principe de Pascal. C’est un principe lié au comportement de la pression dans un fluide incompressible. Alors, quand on parle de fluide incompressible, on sait qu’un fluide est une substance qui s’écoule. Les gaz ainsi que les liquides sont des fluides.
Mais alors, réfléchissons sur ce que cela implique pour un fluide d’être incompressible. Disons que nous avons une boîte, celle-ci ici. Et on le remplit avec du gaz. À l’intérieur de ce récipient fermé, le gaz s’étendra naturellement pour remplir tout ce volume. Alors, on pourrait dire que le volume de ce gaz est égal au volume intérieur de notre boîte. Mais alors, que se passe-t-il si le volume de notre boîte est ajustable? Disons qu’il est possible, par exemple, que la face supérieure de la boîte soit poussée vers le bas.
Avec notre gaz à l’intérieur, il est possible de pousser vers le bas sur cette face supérieure et de diminuer le volume de la boîte. Si nous faisons cela, alors cette boîte en orange nous montre le volume perdu à l’intérieur de la boîte. Cela montre a quel point la boîte a été compressée. Et donc, cela correspond à l’intensité avec laquelle le gaz à l’intérieur de la boîte a également été comprimé. Tout cela nous montre que ce gaz n’est pas un fluide incompressible, car nous pouvons le comprimer. Nous pouvons faire en sorte qu’il occupe un plus petit volume.
Mais alors, disons que nous la chose suivante. Nous prenons de l’eau. Et nous remplissons un grand récipient jusqu’au bord. Et puis, juste à la surface de l’eau, attachée aux côtés du récipient, nous fixons une membrane en caoutchouc. Cette membrane, si nous la regardions de haut en bas, ressemblerait à ceci. C’est une plaque continue en caoutchouc, à l’exception de deux petits trous. Et ces trous sont conçus pour s’adapter parfaitement aux chevilles d’une personne. Donc, l’idée est la suivante. Si une personne grimpait au sommet de ce récipient d’eau et mettait ensuite ses pieds à travers ces deux petits trous dans la membrane en caoutchouc, l’eau sur laquelle ses pieds pressaient n’aurait nulle part où s’échapper de ce récipient. Elle serait scellée.
Ainsi, si cette personne est en mesure de s’équilibrer en se tenant debout, elle pourra supporter tout son poids sur l’eau sur laquelle elle se trouve. Et c’est parce que, contrairement au gaz que nous avons vu plus tôt, cette eau est incompressible. Une fois qu’elle occupe un certain volume, même si nous appuyons dessus pour essayer de réduire ce volume, nous n’y parviendrions pas. L’eau est donc un exemple de fluide incompressible. Et comme nous l’avons dit, ce sont ces fluides dont le principe de Pascal traite spécifiquement.
Sachant cela, regardons de plus près ce réservoir d’eau. Même avant que la personne ne monte et mette ses pieds à travers les trous de la plaque de caoutchouc, il y a des choses intéressantes que nous pouvons dire sur la pression de l’eau dans ce réservoir. Tout d’abord, nous savons que la pression n’est pas la même partout pour l’eau de ce réservoir. En effet, la pression est créée par le poids de l’eau sur elle-même, ce qui signifie que l’eau en profondeur du réservoir, ici, subit plus de pression que l’eau proche de la surface. Et c’est parce que l’eau en profondeur du réservoir a une telle hauteur d’eau qui pousse vers le bas, alors que l’eau proche de la surface n’a que cette profondeur d’eau qui pousse vers le bas.
On pourrait dire que la colonne d’eau qui pousse vers le bas sur ce point supérieur est beaucoup plus courte que la colonne d’eau qui pousse vers le bas sur ce point inférieur. Cela signifie qu’il y a beaucoup plus de poids d’eau qui pousse vers le bas, ce qui signifie que la pression est plus élevée. Et en fait, si nous appelons la profondeur d’un fluide en dessous de la surface ℎ, alors il y a une relation mathématique nous indiquant quelle sera la pression de ce fluide en fonction de ℎ, l’accélération due à la gravité 𝑔, et 𝜌, la masse volumique du fluide. En fait, si nous multiplions ces trois grandeurs ensemble, alors leur produit est égal à la pression du fluide à une certaine profondeur que nous avons appelé ℎ.
En passant au côté gauche de notre réservoir, si nous appelons cette profondeur plus courte ℎ un et la plus grande profondeur ℎ deux. Nous pouvons voir que notre équation pour la pression du fluide due au poids du fluide nous montre que la différence de pression entre ces deux niveaux dans notre fluide, nous appellerons cette différence de pression 𝛥𝑝. Elle est égale à la masse volumique du fluide, nous l’appellerons 𝜌, multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la différence de hauteur entre ℎ un et ℎ deux. Tout cela nous montre que, en effet, la pression à différentes profondeurs dans un fluide n’est pas la même. Mais plutôt qu’elle varie avec cette profondeur.
Et il convient de souligner que cette équation que nous avons utilisée ici suppose que la masse volumique de notre fluide est constante. En d’autres termes, que cette masse volumique ne change pas lorsque la profondeur de notre fluide change. Cela signifie que nous supposons que le fluide est incompressible. Quelle que soit la quantité de fluide que nous empilons sur elle-même, sa masse volumique n’augmente jamais. Donc, si nous devions modéliser la pression agissant sur les côtés de ce réservoir à mesure que la profondeur augmente, cette pression pourrait ressembler à ceci. Une pression assez légère vers le haut du récipient. Mais alors que nous descendons, la pression augmente.
Un autre fait intéressant à propos de la pression dans ce réservoir est qu’elle ne s’exerce pas seulement contre les parois ou le fond du récipient. Si nous devions choisir un point au hasard dans notre réservoir d’eau, disons que nous choisissons ce point ici. Si nous devions dessiner le sens dans lequel la pression agit à ce point, nous pourrions naturellement dessiner une flèche vers le bas à partir de ce point. Puisque nous savons que le poids de l’eau au-dessus de ce point, exerce une pression dessus. Et c’est vrai. La pression agit de cette façon à ce point ou à tout autre point. Mais de manière intéressante, elle agit également dans le sens opposé. Cela peut sembler étrange puisque nous disons que la pression, due au poids de l’eau au-dessus de ce point, est capable d’agir à partir de ce point. Mais c’est vrai.
Et pour voir que c’est le cas, nous pourrions mettre un objet petit et léger, comme un peu de sciure de bois, à cet endroit dans notre réservoir. Si l’eau dans le réservoir était stationnaire et que nous placions quelques grains de sciure de bois à cet endroit, ils resteraient effectivement en place. Cela signifie que la force qui pousse vers le bas, de la pression due à la colonne d’eau, est la même que la force qui pousse vers le haut. Donc, en ce point, ou en tout autre point de notre réservoir, la pression agit vers le haut comme vers le bas. Et elle agit également vers la gauche et vers la droite et dans tous les sens également, à partir de ce point que nous avons choisi. Et rappelons que nous choisissons ce point au hasard. Tout autre point que nous aurions choisi montrerait la même chose. Disons, par exemple, que nous avions choisi un point ici, plus près de la surface.
À ce deuxième point plus élevé, la pression agirait à nouveau dans tous les sens à partir de ce point. Mais ce serait simplement avec une intensité inférieure à la pression au point inférieur que nous avons choisie en premier. Donc, ce sont les paramètres de la pression de l’eau dans notre réservoir avant que la personne ne se trouve dessus. Ensuite, disons que la personne grimpe, met ses pieds à travers les trous de la plaque de caoutchouc et parvient à se tenir debout sur cette eau. Que se passera-t-il? Eh bien, nous savions que les pieds de cette personne créeraient une pression agissant vers le bas aux points où ils entrent en contact avec l’eau. Et il s’avère que cette pression supplémentaire, due au poids de la personne sur l’eau, est transmise dans tout le reste de l’eau dans ce réservoir. En d’autres termes, ces flèches, indiquant les forces créées par la pression de l’eau, deviennent un peu plus longues.
Cette idée que la pression en un point donné dans un fluide incompressible est transmise dans tout le fluide est connue comme le principe de Pascal. Nous pouvons écrire ce principe comme suit. Une variation de pression en tout point d’un fluide confiné et incompressible, et c’est ce que nous avons ici dans le cas de l’eau de notre réservoir, est transmis dans tout le fluide. Donc, la même variation se produit partout. C’est-à-dire que l’augmentation de pression créée par notre personne se trouvant au-dessus de l’eau a été transmise à travers tout ce fluide, de sorte que toutes les pressions partout ont augmenté de la même quantité.
Lorsque nous pensons à une équation mathématique pour la pression, nous savons que, en général, la pression p est égale à une force 𝐹 répartie sur une aire 𝐴. Et en partie en l’honneur du développement de ce principe, l’unité de pression de base SI est nommée d’après Blaise Pascal. Cette unité est le Pascal. Maintenant, disons que lorsque cette personne était au-dessus de l’eau, en raison de son poids, elle a ajouté une pression de 7500 Pascals. Si nous appliquons le principe de Pascal à l’eau de ce réservoir, cela nous dit que toutes les pressions en tout autre point ont également augmenté de cette même quantité, 7500 pascals. En effet, cette variation de pression est transmis dans tout le fluide. Donc, la même variation se produit partout. Chaque pression en chaque point du réservoir augmente de cette même quantité.
Il est possible d’utiliser le principe de Pascal pour exercer des forces très fortes. Ce principe, rappelez-vous, concerne les pressions. Mais les pressions sont liées aux forces et aux surfaces. Pour voir comment le principe de Pascal peut nous aider à comprendre comment exercer une force forte, changeons la forme de notre réservoir d’eau. Disons que notre eau est maintenant dans un récipient scellé qui ressemble à ceci. Ces lignes vertes que nous avons tracées sur le dessus sont des pistons qui peuvent se déplacer vers le haut ou vers le bas à l’intérieur des parois du conteneur. Nous pouvons voir cependant que les pistons ne sont pas de la même taille. Celui de gauche est clairement plus petit que celui de droite.
Maintenant, appelons l’aire du piston à gauche 𝐴. Et nous dirons que l’aire du piston à droite est 100 fois supérieure, 100𝐴. Donc, en d’autres termes, ce piston à droite est 100 fois plus grand que le piston à gauche. Et disons plus loin qu’une personne avec une masse de 75 kilogrammes se tient sur le piston à gauche. Parce que cette personne a une masse qui est dans un champ gravitationnel, nous savons qu’elle va créer une force correspondant au poids agissant vers le bas. Et ce poids P sera égal à sa masse multipliée par l’accélération due à la gravité 𝑔.
Maintenant, ce poids P est une force. Elle est mesurée en unités de newtons. Et nous pouvons voir que cette force du poids est exercée sur une aire, une aire que nous avons appelée 𝐴. Par conséquent, par notre équation pour la pression, nous savons que cette force répartie sur cette zone ajoute de la pression à notre liquide. Cette pression, et nous pouvons l’appeler p, est égale à la masse de la personne fois 𝑔 divisée par l’aire 𝐴.
Et à ce stade, rappelons que le principe de Pascal nous dit que parce que cette pression est ajoutée à un fluide incompressible fermé, cette quantité de pression est ajoutée à tous les points de ce fluide. Et disons que nous nous concentrons spécifiquement sur la pression qui est ajoutée au piston à droite, la plus grande. Le résultat de cette pression supplémentaire est de pousser le piston. Et le principe de Pascal nous dit que la pression poussant vers le haut sur le piston est la même que la pression que nous avons ajoutée en nous tenant debout sur le plus petit piston gauche.
Mais alors, considérons le côté droit de cette équation. Ces valeurs, la force du poids créée par la personne et l’aire du plus petit piston, sont spécifiques au côté gauche de notre système. Sur le côté droit, nous savons que nous avons un piston beaucoup plus grand, avec une aire 100 fois plus grande. Et nous avons une force répartie sur tout ce piston qui agit vers le haut. Si nous appelons cette force totale ascendante agissant sur le piston le plus à droite 𝐹 indice haut, alors nous savons que la pression ajoutée à notre système est égale à cette force divisée par l’aire du deuxième piston, 100𝐴. Nous avons donc ici la force et l’aire du piston à droite, par rapport à la force et à l’aire du piston à gauche. Et ces rapports de force sur surface sont tous deux égaux à la même pression.
Et maintenant, remarquez ce qui se passe si nous résolvons pour 𝐹 indice haut. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés par l’aire du piston le plus à droite, 100𝐴. Cela entraîne l’annulation de 100𝐴 du numérateur et du dénominateur de droite. Et cela provoque également l’annulation de l’aire 𝐴 du numérateur et du dénominateur à gauche. Ce que nous constatons, c’est que la force agissant vers le haut sur le piston le plus à droite est 100 fois la force agissant vers le bas en raison de la force du poids de la personne sur le piston gauche. Ce que nous avons créé alors est essentiellement un multiplicateur de force de 100𝑥. Et nous l’avons fait en rendant l’aire du plus gros piston 100 fois plus grande que l’aire du petit.
Voici comment nous pouvons écrire cela de manière générale. En raison du principe de Pascal, où la pression ajoutée à un système est ajoutée de manière égale tout au long de ce système, tant qu’il s’agit d’un fluide incompressible fermé. Cela signifie que la force supplémentaire exercée sur l’aire à un endroit, que nous connaissons comme la pression supplémentaire à cet endroit, est égale à la force supplémentaire sur l’aire à un autre endroit, où la force et l’aire peuvent être différentes du premier. En rendant ces aires 𝐴 un et 𝐴 deux très différentes, nous avons vu que nous pouvons créer de puissants multiplicateurs de force, où nous utilisons une force relativement petite, dans ce cas, le poids d’une personne, pour en créer une relativement grande. Et cela est possible car la pression est transmise non diminuée dans un fluide incompressible fermé.
Prenons un instant pour résumer ce que nous avons appris sur le principe de Pascal. En commençant, nous avons vu que les gaz sont des fluides compressibles alors que les liquides sont pour la plupart incompressibles. Nous avons appris en outre que la pression varie dans un fluide incompressible en fonction de la profondeur du fluide ainsi que de sa masse volumique. À une profondeur donnée en dessous de son niveau de surface ℎ, la pression d’un fluide est égale à cette profondeur multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la densité de fluide 𝜌.
Nous avons vu qu’en tout point d’un fluide, la pression est la même dans toutes les sens. Et cela nous a amenés à apprendre le principe de Pascal, qui nous dit qu’une variation de pression en tout point d’un fluide confiné et incompressible est transmise dans tout le fluide. Donc, la même variation se produit partout. Et enfin, lorsque nous combinons l’équation, cette pression est égale à la force divisée par l’aire, avec le principe de Pascal. Nous avons constaté que cela nous permet de prendre la force divisée par une aire d’une partie de notre fluide incompressible et d’assimiler cela à une force différente sur une autre aire du même fluide. Et en définissant les aires 𝐴 un et 𝐴 deux, nous avons vu qu’il était possible de créer des multiplicateurs de force en utilisant cette méthode.
