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Utilisez les propriétés des déterminants pour évaluer le déterminant de cette matrice trois par trois.
L’opération sur les lignes indique que lorsque nous ajoutons un multiple d’une ligne à n’importe quelle autre ligne, le déterminant reste inchangé. Il est judicieux à ce stade de numéroter nos lignes comme indiqué: ligne un, ligne deux et ligne trois. La première chose que nous allons faire est de soustraire chacun des éléments de la première ligne des éléments de la deuxième ligne. Cela signifie bien sûr que les éléments de la première ligne et de la troisième ligne restent inchangés.
Pour trouver le premier élément de la deuxième ligne, nous soustrayons 20 de 24 ce qui donne quatre. Pour trouver le deuxième élément de cette ligne, nous soustrayons cinq de neuf, qui est également égal à quatre. Et pour trouver le troisième élément de cette ligne, nous soustrayons huit de 12, ce qui donne encore une fois quatre. Répétons maintenant ce processus, en soustrayant cette fois-ci chacun des éléments de la ligne trois des éléments de la ligne un. Cette fois, les éléments des deuxième et troisième lignes restent inchangés.
Pour trouver le premier élément de cette ligne, nous soustrayons 17 de 20, ce qui donne trois. Ensuite, nous soustrayons deux de cinq, ce qui est encore trois. Et encore une fois, nous allons soustraire cinq de huit, ce qui est aussi trois.
La deuxième propriété qui nous intéresse concerne la multiplication par un scalaire. Si nous multiplions une ligne par un scalaire, le déterminant sera également multiplié par ce même scalaire. Si, par exemple, nous multiplions une ligne par trois, le déterminant sera également multiplié par trois. Nous allons multiplier la première ligne. Nous allons diviser par trois ou multiplier par un tiers. Puisque nous avons besoin que notre déterminant reste inchangé, nous devrons le multiplier par trois pour annuler cet effet. De même, nous allons également agir sur la deuxième ligne en la divisant par quatre ou en la multipliant par un quart. Nous allons agir sur la deuxième ligne en la divisant par quatre ou en la multipliant par un quart.
Encore une fois, il faut que ce déterminant reste inchangé. Nous devrons donc multiplier le déterminant par quatre pour nous assurer que celui-ci reste bien inchangé. En multipliant par un tiers cette première ligne, nous obtenons un, un et un. De même, en multipliant par un quart la deuxième ligne, nous obtenons également un, un, un. Et bien sûr, nous avons dit que nous devons contre balancer ceci en multipliant par trois et par quatre. Il y a une autre propriété que nous pouvons utiliser ici.
Le déterminant de toute matrice 𝐴 est égal à zéro, si elle a deux lignes identiques. Nous pouvons voir que les éléments des première et deuxième lignes sont tous des uns. Ils sont égaux. Cela signifie que le déterminant de cette matrice est nul. Et bien sûr, nous devons le multiplier par trois et par quatre, ce qui est également nul. Nous avons utilisé les propriétés des déterminants pour trouver que le déterminant est égal à zéro.
