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Vidéo de la leçon : Travail fourni par une force constante Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le travail fourni par une force constante sur une particule se déplaçant horizontalement ou verticalement.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le travail fourni par une force constante agissant sur une particule. Nous verrons que ce travail fourni peut être positif, négatif ou nul. Ceci est lié à la direction dans laquelle se déplace une particule par rapport à la direction de la force qui agit sur elle.

Pour commencer, étudions le cas d’une boîte d’une certaine masse au repos par terre à côté d’une table. Supposons qu’on se dirige vers cette boîte avant de la ramasser, en lui appliquant une force verticale constante vers le haut. Si on connaît l’intensité de cette force constante, notons-la 𝐹, et la distance parcourue par la boîte, notons-la 𝑑, alors cette relation nous permet de calculer le travail fourni sur la boîte par la force 𝐹.

Dans cette équation, 𝑑 désigne techniquement un déplacement plutôt qu’une distance. C’est important car la direction de 𝑑 est prise en compte. Lorsqu’on soulève la boîte, le fait que 𝑑 et 𝐹 aient la même direction implique que le travail global fourni sur la boîte quand on la soulève est positif. On peut représenter ça comme ceci. Si on applique une force constante 𝐹 pour soulever une boîte et que cette boîte se soulève effectivement, alors le travail fourni sur la boîte par la force 𝐹 est positif. En termes d’amplitude, c’est l’intensité de la force 𝐹 multipliée par cette distance 𝑑.

Ensuite, supposons qu’on pose cette boîte sur la table. Supposons que cette table soit lisse, et qu’il n’y ait presque aucun frottement entre la boîte et la table. Alors, il ne faut aucun effort pour pousser cette boîte horizontalement le long de la table. Ici, la boîte se déplace vers la droite, et la force nécessaire pour créer ce mouvement est nulle. Ceci signifie que faire glisser la boîte sur cette table lisse ne nécessite aucun travail.

Imaginons à présent un troisième mouvement pour cette boîte. Supposons qu’on attrape la boîte de l’autre côté de la table. Puis en continuant à appliquer sur la boîte la même force verticale vers le haut, on la fait cette fois descendre à vitesse constante, soumise à la force de gravité. Tout comme avant, la force appliquée pointe vers le haut. Mais maintenant, la boîte descend au lieu de monter. Comme la force et le déplacement de la boîte ont des directions opposées, ceci signifie que le travail fourni par la force 𝐹 appliquée sur la boîte est cette fois négatif.

Comme on l’a vu, c’est dû au fait que 𝐹 et 𝑑 pointent dans des directions opposées. En ce qui concerne le travail, on a donc cette formule permettant de calculer le travail en multipliant 𝐹 par 𝑑. Mais on voit que le résultat de ce calcul dépend des directions relatives des deux facteurs. En l’occurrence, seules les composantes parallèles ou antiparallèles de ces facteurs entrent dans le calcul.

Par exemple, supposons qu’on applique sur la boîte une force dans cette direction. Si la boîte ne se déplace qu’horizontalement suite à l’application de cette force, alors on peut dire que seule la composante horizontale de cette force a fourni un travail. La composante verticale n’a fourni aucun travail. Et on le voit au fait que dans la direction verticale, la distance parcourue 𝑑 est nulle.

Soulignons tout de même que, même si on parle de forces constantes appliquées à différents objets, il reste possible qu’elles accélèrent les objets en question. Par exemple, supposons que le sol, comme la table, soit lisse et que la boîte puisse glisser dessus sans frottement, ceci signifie alors que la résultante des forces est non nulle dans la direction horizontale. Ceci fait penser à la deuxième loi du mouvement de Newton, selon laquelle la somme des forces qui s’exercent sur un objet dans une dimension donnée est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération dans cette dimension.

Tout ça pour dire que la force dans la formule du travail peut être une unique force ou bien la force résultante, voire ce peut être la même chose. Ceci montre que lorsqu’on parle de travail, il est important d’être précis sur la force qui fournit ce travail.

Rappelez-vous que si on fait descendre la boîte d’ici jusqu’ici, le travail qu’on a fourni en appliquant une force vers le haut est négatif car cette force et la distance parcourue par la boîte ont des directions opposées. Cependant, si on considère plutôt le travail fourni par la force de gravité qui agit sur la boîte, on a dans ce cas une force qui agit vers le bas et un déplacement vers le bas. Donc le travail fourni par la gravité sur la boîte est positif.

Maintenant, entraînons-nous à manier ces concepts à l’aide d’un exemple.

Calculez le travail fourni par une force de 13 newtons agissant sur un corps qui s’est déplacé de 40 mètres vers le nord si la force a agi en direction du sud. Exprimez la réponse en joules.

Bien, supposons que le nord pointe vers le haut, comme ceci, et qu’on regarde un corps vu d’en haut ; or on sait que ce corps se déplace de 40 mètres vers le nord et que tout au long de ce mouvement, le corps est soumis à une force de 13 newtons vers le sud. On veut calculer le travail fourni par cette force de 13 newtons.

Rappelons que le travail est égal à la force multipliée par le déplacement. Ce déplacement est parfois appelé distance. Mais il est très important de garder à l’esprit la direction du mouvement de l’objet. La situation décrite en est un bon exemple. Si on considère que la direction nord est positive, alors le déplacement total du corps vaut plus 40 mètres. Mais ceci implique qu’on considère la direction sud comme négative. On dit alors que la force de 13 newtons, notons-la 𝐹, vaut moins 13 newtons.

Ceci signifie que lorsqu’on utilise ces valeurs de 𝐹 et 𝑑 dans la formule du travail, on a moins 13 newtons multipliés par plus 40 mètres. Un newton fois un mètre égale un joule. La réponse est donc moins 520 joules. C’est le travail fourni par la force de 13 newtons appliquée à ce corps.

Passons à un exemple impliquant la deuxième loi du mouvement de Newton.

Une force s’exerce sur un corps de masse 400 grammes, qui était au repos, et entraîne une accélération de 36 centimètres par seconde au carré. Si le travail fourni par cette force est de 0,72 joules, déterminez la distance parcourue par le corps.

Bon, voilà notre corps, qui commence au repos, puis on applique une force. Donc, il se met à accélérer. Notons 𝑎 cette accélération. On nous donne la masse du corps, notons-la 𝑚, ainsi que le travail fourni, notons-le 𝑊, par cette force. Sachant que ce travail a été fourni alors que le corps se déplaçait sur une certaine distance, qu’on notera 𝑑, c’est cette distance qu’on recherche.

Pour ce faire, rappelons d’abord que le travail est égal à la force multipliée par la distance. Pour être exact, cette 𝑑 est un déplacement. Mais ici, on peut le traiter comme une distance, une quantité sans direction associée. En plus de cette formule du travail, rappelons la deuxième loi du mouvement de Newton. Elle énonce que la somme des forces agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération.

L’énoncé de l’exercice indique que c’est cette force qui agit sur le corps qui entraine son accélération. Ceci signifie que cette force est la somme des forces qui agissent sur le corps. Donc on peut remplacer 𝐹, dans la formule du travail, par 𝑚 fois 𝑎 d’après la deuxième loi de Newton. Dans cette équation, c’est la distance 𝑑 qu’on recherche.

En divisant chaque membre de l’équation par 𝑚 fois 𝑎, ces facteurs se simplifient à droite. Et on obtient 𝑑 égale 𝑊 sur 𝑚 fois 𝑎. Si on remplace 𝑊, 𝑚 et 𝑎 par les valeurs fournies, on constate que, en raison des unités utilisées, on ne peut pas encore calculer 𝑑. Il nous faut convertir la masse du corps en unité SI, le kilogramme, et l’accélération du corps en mètres par seconde au carré.

Comme 1000 grammes égalent un kilogramme et que 100 centimètres égalent un mètre, on peut réécrire l’expression avec les bonnes unités comme ceci. La masse du corps est de 0,400 kilogrammes, et son accélération est de 0,36 mètres par seconde au carré. Maintenant, toutes les unités concordent. On peut donc calculer 𝑑. On trouve exactement cinq mètres. C’est la distance parcourue par le corps lors de son accélération dans les conditions données.

Voyons maintenant un autre exemple.

Un ouvrier du bâtiment pesant 100 kilogrammes transporte des briques en montant une échelle de 15 mètres de haut. Si le travail fourni par l’ouvrier du bâtiment pour monter l’échelle est de 20 433 joules, trouvez la masse des briques. Prenons 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde au carré.

Alors, voici l’échelle, dont la hauteur qu’on notera ℎ est de 15 mètres, et sur cette échelle il y a un ouvrier de masse 𝑚 indice 𝑐, qui monte jusqu’en haut en portant des briques d’une masse qu’on notera 𝑚 indice 𝑏. Sachant que cet ouvrier exerce un travail de 20 433 joules pour monter cette échelle avec cette charge de briques, on cherche la masse des briques, 𝑚 indice 𝑏.

Prenons la masse totale, la masse des briques plus la masse de l’ouvrier, on sait que cette masse totale multipliée par l’accélération de la pesanteur est égale au poids qui s’exerce sur cet ouvrier. Mais, à l’encontre de cette force, l’ouvrier du bâtiment est capable de monter les 15 mètres. Alors on peut dire que l’intensité de la force appliquée par l’ouvrier, que nous noterons 𝐹 indice 𝑐, est égale à cette masse totale multipliée par 𝑔.

C’est le moment de rappeler que le travail fourni par une force 𝐹 est égal à cette force multipliée par le déplacement de l’objet sur lequel s’exerce la force. Dans notre cas, le déplacement du corps est la hauteur ℎ de l’échelle, et la force impliquée est la somme des masses des briques et de l’ouvrier multipliée par 𝑔. On peut donc en déduire cette expression du travail fourni par l’ouvrier. En se rappelant que c’est 𝑚 indice 𝑏 qu’on recherche, divisons chaque membre de l’équation par 𝑔 fois ℎ. Ces facteurs se simplifient à droite. Ensuite, retranchons 𝑚 indice 𝑐, la masse de l’ouvrier, de chaque membre de l’équation. Ce qui donne cette équation pour la masse des briques. En remplaçant 𝑊, 𝑔, ℎ et 𝑚 indice 𝑐 par les valeurs fournies, on obtient le résultat 39 kilogrammes. C’est la masse des briques que l’ouvrier a transportées en haut de l’échelle.

Voyons maintenant un dernier exemple impliquant un travail.

Un homme de 94 kilogrammes gravit un plan de 90 mètres de long, incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. Déterminez le travail fourni par son poids à un joule près. Prenez 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde au carré.

Voici notre plan à 30 degrés par rapport à l’horizontale. Et voilà un homme de masse 94 kilogrammes qui gravit ce plan. Nous noterons cette masse 𝑚. On sait que la longueur du plan est de 90 mètres, nous la noterons 𝑙. On souhaite calculer le travail fourni par le poids de cet homme à un joule près.

On peut dire que le poids de cet homme, sa masse multipliée par l’accélération due à la pesanteur, une force agissant vers le bas, fournit réellement un travail lorsque cet homme monte sur le plan incliné. Ce travail est égal à la force qui entre en jeu, c’est-à-dire le poids de l’homme, multipliée par la distance verticale du déplacement de l’homme. Autrement dit, la distance que nous utiliserons dans le calcul ne sera pas la longueur 𝑙. Ce sera plutôt la distance verticale 𝑑. C’est parce que cette distance est la seule composante de la longueur 𝑙 parallèle ou antiparallèle à la force impliquée.

Alors commençons par là. On sait que la force pour laquelle on souhaite calculer le travail fourni est le poids de l’homme, 𝑚 fois 𝑔. Ensuite, puisque cette pente de 30 degrés appartient à un triangle rectangle, alors la distance 𝑑 est égale à 𝑙 fois le sinus de 30 degrés. C’est dû au fait que le sinus de cet angle est égal au rapport 𝑑 sur 𝑙. En réécrivant cette relation, on obtient 𝑑 égale 𝑙 sinus 30.

Avant d’utiliser les valeurs fournies pour 𝑚, 𝑔 et 𝑙, il est important de définir une convention de signes. Notez que quand cet homme gravit la pente, il se déplace verticalement vers le haut. C’est le sens opposé à son poids, qui agit vers le bas. Pour vérifier qu’on manipule correctement les quantités, déclarons que l’un de ces sens est positif, et donc l’autre négatif. Si on déclare que le sens vers le haut est positif, ça veut dire que 𝑙 fois sinus 30 degrés est positif. Mais dans ce cas, 𝑚 fois 𝑔, qui pointe vers le bas, doit être négatif. Ce qu’il faut comprendre ici est que la force en jeu, le poids de l’homme, agit dans le sens contraire du déplacement 𝑑. Le résultat, c’est que le travail fourni par ce poids est négatif.

Maintenant qu’on a trouvé les signes, on peut remplacer 𝑚, 𝑔 et 𝑙 par leurs valeurs. La masse de l’homme est de 94 kilogrammes, 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde au carré et 𝑙 égale 90 mètres. En entrant cette expression dans la calculatrice, on obtient un résultat, arrondi au joule près, de moins 41 454 joules. Ceci correspond, à un joule près, au travail fourni par le poids de cet homme lorsqu’il gravit ce plan.

Terminons par un résumé des points clés. Dans cette leçon, on a vu que le travail fourni par une force constante 𝐹 sur un objet est égal au produit de cette force par le déplacement de l’objet. Les directions de 𝐹 et de 𝑑 sont très importantes. De manière générale, le travail fourni par une force constante peut être positif, négatif ou nul. Enfin, on a vu que seules les composantes parallèles ou antiparallèles de 𝐹 et de 𝑑 contribuent au travail total fourni par la force 𝐹.

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