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Vidéo question :: Déterminer l’aire d’un secteur en fonction du rayon du cercle et du périmètre du secteur Mathématiques • Première secondaire

Dans un cercle de rayon 10 cm, on dessine un secteur circulaire de de périmètre 25 cm. Déterminez l’aire du secteur au centimètre carré près.

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Transcription de la vidéo

Dans un cercle de rayon 10 centimètres, on dessine un secteur circulaire de de périmètre 25 centimètres. Déterminez l’aire du secteur au centimètre carré près.

Dessinons une figure pour visualiser la situation. Nous avons un cercle avec un rayon de 10 centimètres. On nous dit alors qu’il existe un secteur de ce cercle avec un périmètre de 25 centimètres. Maintenant, un secteur d’un cercle est une zone comprise entre deux rayons. Ainsi, chacune de ces lignes, qui entourent le secteur, font 10 centimètres. Le périmètre de ce secteur est la distance tout autour de son bord. Ainsi, il s’agit de la somme des deux rayons puis de la longueur de l’arc.

Nous pouvons utiliser les informations qui nous ont été données pour former une équation. Le périmètre est de 25 centimètres et le rayon de 10 centimètres. Ainsi, nous avons l’équation 25 est égal à deux multiplié par 10 plus la longueur de l’arc. Deux multiplié par 10 donne 20. Puis, en soustrayant cette valeur de chaque côté de l’équation, nous voyons que la longueur de l’arc est de cinq centimètres.

Nous connaissons donc la longueur de l’arc, mais comment cela nous aide-t-il à déterminer l’aire de ce secteur ? Bien, nous savons que l’aire de tout cercle peut être trouvée en utilisant la formule 𝜋𝑟 au carré, où 𝑟 représente le rayon. Pour trouver l’aire d’un secteur, nous multiplions cette valeur par la fraction du cercle que le secteur représente. Ainsi, si l’angle au centre du secteur est 𝜃, alors la fraction du cercle complet sera 𝜃 sur 360, car il y a 360 degrés dans un cercle. Nous connaissons le rayon du cercle ; il fait 10 centimètres. Ainsi, si nous pouvons calculer l’angle 𝜃 au centre de ce secteur, nous pourrons alors utiliser cette formule pour trouver son aire.

Nous avons une formule similaire pour calculer une longueur d’arc. Deux 𝜋𝑟 nous donne la circonférence d’un cercle. Puis, nous multiplions cela par la fraction du cercle que nous avons, c’est-à-dire 𝜃 sur 360. Ainsi, puisque nous connaissons le rayon de notre cercle et que nous avons calculé la longueur de l’arc de ce secteur, nous pouvons utiliser cette formule pour la longueur de l’arc afin de calculer l’angle 𝜃 au centre du secteur, que nous allons ensuite être en mesure de substituer dans notre formule pour la superficie. La substitution de 10 pour le rayon et de cinq pour la longueur de l’arc dans cette dernière formule donne 𝜃 sur 360 multiplié par deux multiplié par 𝜋 multiplié par 10 est égal à cinq.

Nous pouvons résoudre cette équation pour trouver 𝜃. Tout d’abord, nous multiplions par 360 pour le sortir du dénominateur sur le côté gauche, ce qui donnera cinq multiplié par 360 au numérateur à droite. Nous devons également diviser par deux, 𝜋 et 10, ce qui signifie que nous divisons par 20𝜋. Ainsi, nous avons 𝜃 est égal à cinq multiplié par 360 sur 20𝜋. Simplifier cette expression nous donne 90 sur 𝜋 parce que 90 vaut cinq multiplié par 360 sur 20. Si nous voulons calculer cela sous forme décimale, cela équivaut à 28,647.

Ainsi, maintenant que nous connaissons la valeur de 𝜃, l’angle au centre de ce secteur, ainsi que le rayon du cercle, nous pouvons appliquer notre formule. Notre formule, rappelez-vous, est 𝜃 sur 360 multiplié par 𝜋𝑟 au carré. Maintenant, nous pourrions substituer notre valeur décimale de 𝜃. Seulement, si nous utilisons la valeur exacte de 𝜃 comme 90 sur 𝜋, nous obtiendrons une valeur exacte. Nous pouvons rappeler que 𝜃 sur 360 est égal à 𝜃 multiplié par un sur 360. Ainsi, en substituant 90 sur 𝜋 pour 𝜃 et 10 pour 𝑟, l’aire du secteur est égale à 90 sur 𝜋 multiplié par un sur 360 multiplié par 𝜋 multiplié par 10 au carré.

Le facteur de 𝜋 au dénominateur de notre valeur pour 𝜃 s’annulera avec le 𝜋 au numérateur de la formule, c’est pourquoi nous avons utilisé cette valeur exacte. 90 et 360 peuvent également être annulés car ils partagent un facteur commun de 90. 90 divisé par 90 donne un et 360 divisé par 90 donne quatre.

Il nous reste maintenant un multiplié par un multiplié par 10 au carré au numérateur et seulement quatre au dénominateur. 10 au carré vaut 100. Ainsi, nous avons 100 sur quatre. 100 divisé par quatre donne 25. Les unités de cette aire seront des centimètres carrés. Nous avons donc constaté que l’aire exacte de ce secteur est de 25 centimètres carrés.

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