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Déterminez le domaine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 est dans l’intervalle fermé de moins quatre à huit et 𝑓 de 𝑥 égale sept 𝑥 moins 63 lorsque 𝑥 est dans l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de huit à neuf.
Dans cette question, on nous demande de déterminer le domaine d’une fonction 𝑓 de 𝑥 définie par morceaux. Et nous pouvons commencer par rappeler que l’ensemble de définition de toute fonction est l’ensemble des valeurs d’entrée de cette fonction. Et pour une fonction 𝑓 de 𝑥 définie par morceaux, chaque sous-fonction a son propre sous-ensemble de définition. Et dans ce cas, 𝑓 de 𝑥 a deux sous-fonctions : 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 est dans l’intervalle fermé de moins quatre à huit et 𝑓 de 𝑥 égale sept 𝑥 moins 63 lorsque 𝑥 est dans l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de huit à neuf. Par conséquent, toutes les valeurs d’entrée de 𝑥 sont définies par les sous-ensembles de définition. L’union des sous-ensembles de définition d’une fonction définie par morceaux est l’ensemble de définition de notre fonction. Donc, l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’union de ses deux sous-ensembles de définition.
Et il y a plusieurs façons de déterminer l’union de ces deux ensembles. Premièrement, dire que 𝑥 est dans l’intervalle fermé de moins quatre à huit revient à dire que 𝑥 est supérieur ou égal à moins quatre et que 𝑥 est inférieur ou égal à huit. Nous pouvons dire la même chose de notre autre sous-ensemble de définition. Dire que 𝑥 est dans l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de huit à neuf revient à dire que 𝑥 est strictement supérieur à huit ou inférieur ou égal à neuf. Dire que 𝑥 est dans l’union de ces deux ensembles revient à dire que l’une ou l’autre de ces deux conditions est vraie. Et dire que 𝑥 est supérieur ou égal à moins quatre et inférieur ou égal à huit ou 𝑥 est strictement supérieur à huit et inférieur ou égal à neuf revient à dire que 𝑥 est compris entre moins quatre et neuf.
Et puisque les inégalités à la fin de notre expression ne sont pas strictes, nous devons utiliser un intervalle fermé. L’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 est dans l’intervalle fermé de moins quatre à huit et 𝑓 de 𝑥 égale sept 𝑥 moins 63 lorsque 𝑥 est dans l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de huit à neuf est l’intervalle fermé de moins quatre à neuf.
