Vidéo question :: Déterminer si la règle de Cramer est utile pour un système d’équations dont l’ensemble solution est infini Mathématiques

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La règle de Cramer est-elle utile pour déterminer des solutions de systèmes d’équations linéaires admettant une infinité de solutions ?

Pour répondre à cette question, nous rappelons que pour un système de 𝑛 équations linéaires à 𝑛 inconnues, où 𝐴 est la matrice des coefficients de taille 𝑛 𝑛, 𝑥 est la matrice des inconnues et 𝐵 est la matrice des constantes, si le déterminant de la matrice 𝐴 n’est pas égal à zéro, alors la solution unique pour les inconnues 𝑥 un, 𝑥 deux, jusqu’à 𝑥 𝑛 est donnée par 𝑥 indice 𝑗 est égal au déterminant de la matrice 𝐴 indice 𝑗 divisé par le déterminant de la matrice 𝐴. Cela vaut pour 𝑗 allant un à 𝑛. Nous rappelons que 𝐴 indice 𝑗 est la matrice 𝐴 dont la 𝑗-ième colonne a été remplacée par les constantes de la matrice 𝐵. Ainsi, par exemple, lorsque nous exprimons un système de deux équations linéaires à deux inconnues sous forme de matrice, cela donne une matrice deux deux multipliée par une matrice colonne 𝑥, 𝑦 égale la matrice des constantes 𝑒, 𝑓.

Ensuite, la règle de Cramer pour cette matrice deux deux nous donne les solutions 𝑥 est égal à Δ𝑥 divisé par Δ et 𝑦 est égal à Δ𝑦 divisé par Δ. Δ𝑥 est le déterminant de la matrice deux deux avec les éléments 𝑒, 𝑏, 𝑓, 𝑑. Il s’agit du déterminant de la matrice 𝐴 avec la première colonne remplacée par les éléments de 𝐵. De même, Δ𝑦 est le déterminant de la matrice deux deux avec les éléments 𝑎, 𝑒, 𝑏, 𝑓 où, dans ce cas, la deuxième colonne a été remplacée par 𝐵. Δ est le déterminant de la matrice 𝐴.

Maintenant, en faisant un peu d’espace et en revenant à notre question, nous voulons savoir si la règle de Cramer est utile pour trouver des solutions aux systèmes d’équations linéaires où l’ensemble de solutions est infini. Nous pouvons répondre à cette question en notant qu’il existe deux façons pour un système linéaire d’avoir un nombre infini de solutions. La première est d’avoir plus d’inconnues que d’équations. Par exemple, le système présenté a trois inconnues - soit 𝑥, 𝑦 et 𝑧 - mais seulement deux équations. Dans de tels cas, la matrice de coefficients 𝐴 n’est pas carrée or, il s’agit d’une condition nécessaire pour appliquer la règle de Cramer. La deuxième façon dont un système linéaire peut avoir un nombre infini de solutions est si le déterminant de la matrice des coefficients 𝐴 est égal à zéro. Dans ce cas, nous ne pouvons pas appliquer la règle de Cramer puisque dans la formule, nous diviserions par zéro - soit le déterminant de 𝐴 - et nous n’avons pas le droit de le faire.

Ainsi, dans l’un ou l’autre de ces cas, nous ne pouvons pas appliquer la règle de Cramer. Nous devons donc conclure que la règle de Cramer ne serait pas utile pour trouver les solutions à un système d’équations dans lequel il existe un ensemble infini de solutions. Notre réponse est donc non.