Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les moyennes arithmétiques de deux termes non consécutifs d’une suite arithmétique.
Commençons par définir la moyenne arithmétique. Une moyenne arithmétique est la somme d’un ensemble de valeurs divisée par le nombre de valeurs de l’ensemble. Si on a deux nombres trois et neuf et qu’on veut trouver leur moyenne arithmétique, on les additionne, trois plus neuf, puis on divise par deux parce que c’est un ensemble de deux nombres. Ce qui donne six. Ceci indique que la distance entre trois et six est égale à la distance entre six et neuf. Appelons cette distance 𝑑. On peut voir que, de trois à six, on ajoute trois, et que de six à neuf, on ajoute trois.
En continuant de la même manière, neuf plus trois égale 12 et 12 plus trois égale 15. On peut appeler cet ensemble de valeurs une suite arithmétique. En effet, dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Mais cette vidéo s’intéresse principalement aux moyennes arithmétiques. Dans cette suite, il y a plusieurs moyennes arithmétiques. On a vu que six était la moyenne arithmétique de trois et neuf. Mais neuf est aussi une moyenne arithmétique dans cette suite. Si on regarde les valeurs de chaque côté, on peut dire que six plus 12 divisé par deux égale neuf. Neuf est donc la deuxième moyenne dans cette suite et 12 est la troisième moyenne. Cela veut dire qu’il y a trois moyennes arithmétiques entre trois et 15.
En utilisant nos connaissances sur le comportement des suites arithmétiques et ce qu’on sait des moyennes arithmétiques dans les suites arithmétiques, voyons quelques exemples de questions.
Trouvez cinq moyennes arithmétiques entre sept et 19.
On a deux termes, sept et 19. Et on sait qu’il y a cinq moyennes arithmétiques entre eux, notons-les 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒. La première moyenne est 𝑎. On sait que si 𝑎 est la première moyenne, la distance de sept à 𝑎 doit être égale à la distance de 𝑎 à 𝑏. Ainsi, si sept plus 𝑥 est égal à 𝑎, alors 𝑎 plus 𝑥 est égal à 𝑏. Ensuite, 𝑏 est la deuxième moyenne, ce qui signifie que la distance de 𝑎 à 𝑏 est égale à la distance de 𝑏 à 𝑐. Si 𝑎 plus 𝑥 est égal à 𝑏, alors 𝑏 plus 𝑥 est égal à 𝑐. C’est la même chose pour les cinq moyennes arithmétiques entre sept et 19. Elles doivent avoir une différence commune. On note 𝑥 cette différence commune.
S’il y a une différence commune de 𝑥 entre ces cinq moyennes arithmétiques, il y a également une différence commune de 𝑥 entre la dernière moyenne 𝑒 et la fin de la suite 19. On peut utiliser cette information pour écrire une équation. On peut écrire une relation entre sept et 19 en utilisant les différences communes. Pour aller de sept à 19, on passe par cinq moyennes arithmétiques, il faut ajouter six 𝑥. Donc sept plus six 𝑥 égale 19. Cette équation nous permet de trouver la différence commune.
Retranchons sept de chaque côté de l’équation, on obtient six 𝑥 égale 12, d’où 𝑥 égale deux. Si 𝑥 égale deux, 𝑎 égale neuf, 𝑏 égale 11, 𝑐 égale 13, 𝑑 égale 15 et 𝑒 égale 17. Les cinq moyennes arithmétiques entre sept et 19 sont donc neuf, 11, 13, 15 et 17.
Dans le prochain exemple, nous verrons quoi faire si on nous donne la somme de différentes moyennes d’une suite arithmétique.
Si la somme de la deuxième moyenne et de la quatrième moyenne d’une suite arithmétique est égale à 16 et que la septième moyenne est égale à la troisième moyenne plus huit, alors déterminez cette suite.
Soit une suite de premier terme 𝑎. Soit 𝑏 le deuxième terme, 𝑐 le troisième terme et ainsi de suite. Rappelons que si le premier terme est 𝑎, la première moyenne est en fait le deuxième terme de la suite. Si le deuxième terme est la première moyenne, le troisième terme est la deuxième moyenne et le cinquième terme est la quatrième moyenne. Mais cette suite de variables n’est pas très utile pour nous. Il serait plus utile d’écrire ces variables en fonction de la première valeur de la suite.
Alors revenons en arrière. Soit 𝑎 le premier terme de la suite, on sait que le deuxième terme est égal à au premier terme plus la différence commune. Cette façon d’écrire ces valeurs est bien plus utile. Le deuxième terme est égal à 𝑎 plus la différence commune 𝑑. Le troisième terme est égal à 𝑎 plus 𝑑 plus 𝑑. C’est-à-dire 𝑎 plus deux 𝑑. Le quatrième terme est égal à 𝑎 plus trois 𝑑. Il faut réfléchir aux valeurs qui nous intéressent. On a des informations sur la deuxième moyenne, la quatrième moyenne, la septième moyenne et la troisième moyenne.
On a déjà dit que cette deuxième moyenne était égale au troisième terme et que la quatrième moyenne était égale au cinquième terme. On remarque ici quelque chose d’intéressant. La deuxième moyenne s’obtient en ajoutant deux fois la différence commune 𝑑 au premier terme. La quatrième moyenne s’obtient en ajoutant quatre différences communes au premier terme 𝑎. On le voit avec la troisième moyenne. Trois différences communes ont été ajoutées. On peut utiliser ceci pour dire que la septième moyenne est égale au premier terme plus sept 𝑑.
En utilisant ces valeurs, on peut écrire pour cette suite un système d’équations à résoudre. On sait que la deuxième moyenne plus la quatrième moyenne égale 16. Cela signifie que 𝑎 plus deux 𝑑 plus 𝑎 plus quatre 𝑑 est égal à 16. On sait également que la troisième moyenne plus huit est égale à la septième moyenne. On écrit donc 𝑎 plus trois 𝑑, soit la troisième moyenne, plus huit est égal à 𝑎 plus sept 𝑑, la septième moyenne. À gauche, on peut simplifier à deux 𝑎 plus six 𝑑 égale 16. Pour l’autre équation, en retranchant 𝑎 de chaque côté, on a 𝑎 moins 𝑎 de chaque côté.
On se retrouve avec trois 𝑑 plus huit égale sept 𝑑. En retranchant trois 𝑑 de chaque côté, on obtient huit égale quatre 𝑑. En divisant chaque côté par quatre, on obtient deux égale 𝑑, soit 𝑑 égale deux. Ensuite, prenons deux comme valeur de 𝑑 et injectons-la dans la deuxième équation, on obtient deux 𝑎 plus six fois deux égale 16. Deux 𝑎 plus 12 égale 16. En retranchant 12 de chaque côté, on obtient deux 𝑎 égale quatre. Alors en divisant par deux, on obtient 𝑎 égale deux.
Rappelons que 𝑎 représente le premier terme de la suite et que la différence commune, la valeur 𝑑, vaut deux. Ça veut dire que le deuxième terme est quatre, le troisième terme six et ainsi de suite. La suite arithmétique décrite ici est la suite de premier terme deux et de raison deux.
Le prochain exemple est un peu différent. On cherche le nombre de moyennes entre deux valeurs données en connaissant certaines des moyennes arithmétiques entre ces deux valeurs.
Trouvez le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre huit et 238, sachant que la somme des deuxième et sixième moyennes est égale à 96.
Réfléchissons à ce qu’on sait. On nous donne huit et 238. On essaie de trouver le nombre de moyennes arithmétiques entre ces deux valeurs en sachant que la somme des deuxième et sixième moyennes vaut 96. On ne sait rien d’autre sur les termes compris entre huit et 238, mais on sait qu’il y a une différence commune entre chaque terme consécutif. L’écart entre huit et la deuxième moyenne est égal à deux différences communes. La deuxième moyenne est le troisième terme. Soit 𝑎 la deuxième moyenne.
Si 𝑎 est égal à la deuxième moyenne, 𝑎 est égal à huit plus deux fois la différence commune 𝑑. Pour passer de la deuxième moyenne à la sixième moyenne, il faut encore ajouter quatre fois cette différence commune. Soit 𝑏 la sixième moyenne. On peut écrire 𝑏 en fonction du premier terme et de la différence commune. 𝑏 est égal à huit plus six 𝑑. Si on commence à huit et qu’on souhaite atteindre 𝑏, il faut ajouter six fois la différence commune. On sait que la somme des deuxième et sixième moyennes est 96. 𝑎 plus 𝑏 est égal à 96. On peut remplacer 𝑎 par huit plus deux 𝑑 et 𝑏 par huit plus six 𝑑.
En regroupant les termes similaires, on obtient 16 plus huit 𝑑 est égal à 96. En retranchant 16 de chaque côté, on obtient huit 𝑑 égale 80. Et en divisant chaque côté par huit, on obtient 𝑑 égale 10. Cela n’indique pas le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre huit et 238. On a seulement la raison pour cette suite, à savoir 10.
Maintenant, cherchons comment passer de huit à 238 avec une différence commune de 10. On veut savoir, en commençant à huit, combien de fois ajouter 10 à huit pour arriver à 238 ? En retranchant huit de chaque côté, on obtient 𝑥 fois 10 égale 230. En divisant chaque côté par 10, on obtient 𝑥 égale 23. Ça revient à dire que huit plus 23 fois la différence commune est égal à 238. Cela a du sens. La différence commune vaut 10, donc huit plus 230 égale 238. Mais c’est là qu’il va falloir faire très attention. Ce 23𝑑 nous fait passer du premier terme au dernier terme, mais l’énoncé demande le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre 238 et huit. Cela signifie qu’il faut regarder le terme à gauche de 238.
Pour passer de 238 à la dernière moyenne, on retranche 𝑑. Soit 𝑐 la dernière moyenne entre huit et 238, alors 𝑐 se situe à huit plus 23𝑑 moins 𝑑. C’est-à-dire huit plus 22𝑑. Et ce 22 indique en fait la 22e moyenne, ce qui signifie qu’il y a 22 moyennes comprises entre huit et 238.
Dans le dernier exemple, nous essaierons de trouver le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre deux valeurs. Mais cette fois, on nous donne un ratio impliquant différentes moyennes.
Trouvez le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre deux et 254, sachant que le ratio entre la somme des deux premières moyennes et la somme des deux dernières moyennes est 11 divisé par 245.
Réfléchissons à ce qu’on sait. On a une suite de premier terme deux et de dernier terme 254. Pour des suites de ce type, le deuxième terme est égal à la première moyenne et le troisième terme est égal à la deuxième moyenne. Soit 𝑎 la première moyenne et 𝑏 la deuxième moyenne. On sait que pour passer du premier au deuxième terme, il y a une différence commune 𝑑. C’est la même chose ensuite. Pour passer du deuxième terme au troisième terme, il faut ajouter une différence commune 𝑑. Mais quelles sont les deux dernières moyennes ?
Si on part du dernier terme 254, la dernière moyenne est égale au dernier terme moins 𝑑. Soit 𝑒 la dernière moyenne. Si on prend la dernière moyenne et qu’on lui retranche la différence commune 𝑑, on obtient l’avant-dernière moyenne. Écrivons les deux premières moyennes en fonction du premier terme. 𝑎 est égal à deux plus 𝑑. Puis, 𝑏 est égal à deux plus deux 𝑑. Ensuite, on peut écrire 𝑒 et 𝑓 en fonction du dernier terme 254. 𝑒 est égal à 254 moins 𝑑. Enfin 𝑓, l’avant-dernier terme, est égal à 254 moins deux 𝑑.
Or, notre ratio est la somme des deux premières moyennes sur la somme des deux dernières. Ça veut dire qu’on veut additionner 𝑎 et 𝑏 et additionner 𝑒 et 𝑓. Pour les deux premières moyennes, leur somme vaut quatre plus trois 𝑑. Pour les deux dernières moyennes, leur somme vaut 508 moins trois 𝑑. Prenons le quotient de ces deux expressions et écrivons qu’il est égal à notre ratio 11 sur 245. La somme des deux premières moyennes, quatre plus trois 𝑑, divisée par la somme des deux dernières moyennes, 508 moins trois 𝑑, est égale à 11 sur 245.
Par produit en croix, on obtient 245 fois quatre plus trois 𝑑 est égal à 11 fois 508 moins trois 𝑑. Développons, on obtient 980 plus 735𝑑 à gauche et 5588 moins 33𝑑 à droite. Ensuite, ajoutons 33𝑑 de chaque côté de l’équation. Puis, retranchons 980 de chaque côté, on obtient 768𝑑 égale 4608. Divisons chaque côté de l’équation par 768, on obtient 𝑑 égale six. On sait maintenant que la différence commune vaut six. Servons-nous de cette valeur pour déterminer le nombre de moyennes comprises entre deux et 254. Cela veut dire qu’il faut trouver comment passer de deux à 254 par incréments de six.
Algébriquement, on peut écrire que deux plus 𝑥 fois six est égal à 254 puis en déduire 𝑥. Une fois résolu, on obtient 𝑥 égale 42. C’est-à-dire que si on prend 42𝑑 et qu’on l’ajoute au premier terme deux, on arrive à 254. Mais pour arriver à la dernière moyenne, il n’y a besoin d’ajouter que 41𝑑. Comme deux plus 41𝑑 est égal à la dernière moyenne, il y a 41 moyennes entre deux et 254.
Avant de terminer, récapitulons les points clés. Les termes entre deux termes non consécutifs d’une suite arithmétique sont les moyennes arithmétiques. Pour calculer la moyenne arithmétique, prenez la somme des valeurs et divisez-la par le nombre de valeurs. À l’aide de ces propriétés, vous pouvez trouver le nombre de moyennes arithmétiques entre deux termes quelconques.
