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Vidéo question :: Déterminer l’aire d’un triangle connaissant les coordonnées ses sommets Mathématiques • Première secondaire

Déterminez l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 de sommets 𝐴 (1, 4), 𝐵 (−4, 5) et 𝐶 (−4, −5).

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Transcription de la vidéo

Déterminez l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 de sommets 𝐴 : un, quatre ; 𝐵 : moins quatre, cinq ; et 𝐶 : moins quatre, moins cinq.

Dans ce problème, nous constatons que nous pouvons utiliser le déterminant afin de calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶. Et pour ce faire, nous allons utiliser une équation. On peut donc dire que l’aire d’un triangle dont les sommets ont pour coordonnées 𝑎, 𝑏 ; 𝑐, 𝑑 ; 𝑒, 𝑓 est la valeur absolue de 𝐴 où 𝐴 vaut la moitié du déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, un ; 𝑐, 𝑑, un ; 𝑒, 𝑓, un. Bon génial, maintenant que nous avons une formule que nous pouvons utiliser, nous pouvons en fait y mettre nos valeurs et calculer 𝐴.

Ce que j’ai fait tout d’abord, c’est que j’ai nommé nos coordonnées. Cela va nous aider à repérer les éléments qui vont aller dans la formule. Nous avons donc 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓. On peut donc dire que 𝐴 est égal à la moitié du déterminant de la matrice. Et la ligne du haut va être un, quatre, un parce qu’il s’agit de 𝑎, 𝑏 et un. Notre ligne suivante sera moins quatre, cinq, un. Encore une fois, parce que nous passons maintenant à 𝑐, 𝑑. Et puis enfin, notre ligne en bas sera moins quatre, moins cinq, un. Et encore une fois, nous avons substitué nos valeurs à 𝑒, 𝑓.

Excellent ! Maintenant, calculons la valeur de 𝐴. Avant de pouvoir calculer la valeur du déterminant, rappelons-nous simplement que lorsque nous calculons la valeur du déterminant, nous avons besoin du positif, négatif, positif au-dessus de nos colonnes. Parce que cela nous aide en fait à décider si le coefficient, donc le nombre de la ligne du haut, va être positif ou négatif. Très bien. Allons-y.

Tout d’abord, nous savons que notre coefficient va être un parce que c’est le premier terme de la première ligne. D’accord, maintenant, nous éliminons en fait la même ligne et la même colonne. Et puis nous nous préoccupons de la sous-matrice formée des quatre nombres inférieurs ici, autour de laquelle j’ai tracé une case orange. Et nous pouvons simplement nous rappeler que si nous voulons trouver le déterminant d’une sous-matrice, une sous-matrice deux-deux, cela va être égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Très bien. Donc, nous pouvons utiliser cela afin de calculer le nôtre. Nous allons donc avoir cinq multiplié par un, parce qu’il s’agit de 𝑎 et 𝑑. Puis moins un multiplié par moins cinq. Très bien. Nous avons terminé cette partie. Passons à l’étape suivante.

Notre prochain coefficient sera donc moins quatre. Quatre parce que c’est le deuxième terme de la première ligne. Négatif parce que nous savons que la deuxième colonne fournit un signe négatif. Nous avons donc moins quatre. Maintenant, nous allons multiplier ce moins quatre par le déterminant de la sous-matrice moins quatre, un, moins quatre, un. Parce que nous avons supprimé les valeurs de la ligne où se trouve le quatre ainsi que les valeurs de la colonne du quatre. Nous allons donc avoir moins quatre multiplié par un moins un multiplié par moins quatre. Très bien.

Et maintenant, nous pouvons passer à la dernière partie où nous allons avoir un coefficient positif. Et puis à l’intérieur, nous avons moins quatre multiplié par moins cinq. C’est parce qu’il s’agit de 𝑎 et 𝑑 dans notre sous-matrice. Puis moins cinq fois moins quatre. Très bien. Et puis enfin, nous allons diviser le tout par deux car si nous revenons à l’égalité initiale, c’était un demi multiplié par le déterminant de notre matrice.

Bien. Alors maintenant, calculons nos expressions. Bon, cela nous donne donc 𝐴 égal un multiplié par 10 moins quatre multiplié par zéro plus un multiplié par 40, le tout divisé par deux. Donc, 𝐴 égal 50 sur deux, c’est-à-dire 25.

Alors maintenant, nous revenons un peu en arrière afin de vérifier, car il est dit que l’aire d’un triangle dont les sommets ont pour coordonnées 𝑎, 𝑏; 𝑐, 𝑑; 𝑒, 𝑓 est la valeur absolue de 𝐴. Eh bien, nous examinons notre valeur de 𝐴. C’est plus 25. Nous n’avons donc pas à nous en inquiéter car avec la valeur absolue nous ne considérons que les valeurs non négatives, ou positives. Nous pouvons donc dire que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est égale à 25 unités carrées.

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