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Déterminez les extrema globaux de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré si 𝑥 est inférieur ou égal à zéro et 𝑥 au carré moins six 𝑥 si 𝑥 est strictement supérieur à zéro, sur l’intervalle fermé moins 5, 13.
Pour déterminer les maximum et minimum globaux d’une fonction, il faut prendre en compte plusieurs choses. Mais commençons d’abord par chercher les points critiques de la fonction. Ce sont les points où la dérivée première de la fonction est nulle. Cela peut indiquer un maximum local ou un minimum local. Si on cherche les extrema globaux, on doit aussi considérer les bornes de la fonction. Donc pour commencer, on va dériver notre fonction par rapport à 𝑥.
On peut voir que notre fonction est définie par morceaux. Donc on doit dériver chacune des deux sous-fonctions. Commençons par dériver 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. La dérivée de 𝑥 au cube est trois 𝑥 au carré. Puis, pour dériver trois 𝑥 au carré, on doit multiplier tout le terme par la puissance de 𝑥 avant de la diminuer de un. Cela nous donne deux fois trois 𝑥, ce qui est égal à six 𝑥. Donc, quand 𝑥 est inférieur ou égal à zéro, la dérivée de notre fonction est trois 𝑥 au carré plus six 𝑥.
Dérivons maintenant 𝑥 carré moins six 𝑥 par rapport à 𝑥. La dérivée de 𝑥 au carré est deux 𝑥 et la dérivée de moins six 𝑥 est moins six. Nous avons maintenant déterminé la dérivée première de notre fonction. À présent, on va poser que chacune des deux parties de notre dérivée est égale à zéro et on va résoudre les deux équations pour déterminer 𝑥. On pose trois 𝑥 au carré plus six 𝑥 égale zéro. On peut factoriser le membre de gauche de l’équation. Cela nous donne trois 𝑥 multiplié par 𝑥 plus deux égale zéro. Pour que cette égalité soit vérifiée, on a soit trois 𝑥 égale zéro, et donc 𝑥 égale zéro, soit 𝑥 plus deux égale zéro, et donc 𝑥 égale moins deux.
Passons à la seconde partie de notre dérivée. On pose deux 𝑥 moins six égale zéro. Cette fois-ci, on résout l’équation en commençant par additionner six des deux côtés. Puis on divise par deux des deux côtés. Et on constate que notre troisième point critique se trouve en 𝑥 égale trois. Pour déterminer les valeurs minimale et maximale globales de notre fonction. On doit calculer la valeur de la fonction en chacun des trois points critiques et aux deux bornes. Nos trois points critiques se trouvent en 𝑥 égale zéro, moins deux et trois, et les deux bornes de notre intervalle sont 𝑥 égale moins cinq et 𝑥 égale 13.
On va devoir faire à attention à bien utiliser la bonne sous-fonction. En effet, n’oublions pas que notre fonction est définie par morceaux. Donc elle diffère en fonction de la valeur de 𝑥. Pour 𝑥 égale zéro, on utilise la sous-fonction 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré. Donc on a 𝑓 de zéro égale zéro au cube plus trois fois zéro au carré, ce qui est égal zéro. On utilise cette même sous-fonction pour toute valeur de 𝑥 inférieure à zéro. Ici, 𝑥 est égal à moins deux. Cela nous donne moins deux au cube plus trois fois moins deux au carré, ce qui est égal à quatre. Notre troisième point critique se trouve en 𝑥 égale trois. C’est strictement supérieur à zéro. Donc on utilise la seconde sous-fonction de notre fonction définie par morceaux. Cela nous donne trois au carré moins six fois trois, ce qui est égal à moins neuf.
Puis on revient à notre première sous-fonction pour la valeur 𝑥 égale moins cinq. On remplace 𝑥 par moins cinq dans 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré et on obtient que 𝑓 de moins cinq est égal à moins 50. La dernière valeur à vérifier est 𝑥 égale 13. C’est encore une valeur strictement supérieure à zéro. Donc on remplace 𝑥 par 13 dans 𝑥 au carré moins six 𝑥. Cela nous donne 91.
Comme déjà mentionné précédemment, les maximum et minimum globaux d’une fonction se trouvent soit aux points critiques, soit aux bornes. Dans notre cas, on peut voir que le minimum global est moins 50. Il est atteint en 𝑥 égale moins cinq, tandis que le maximum global est 91.
Le minimum global de notre fonction est moins 50 et son maximum global est 91.
