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Vidéo de question : Déterminer la mesure de l'angle entre une droite et la normale à un plan Mathématiques

Déterminez, à la seconde d’arc près, la mesure de l'angle entre la droite d’équation 𝐫 = <9𝐢 + 8𝐣 - 5𝐤> + 𝑡<𝐢 + 𝐣 - 3𝐤> et la normale au plan d’équation 𝐫 ⋅ <-3𝐢 + 2𝐣 + 5𝐤> = -7.

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Transcription de vidéo

Déterminez, à la seconde d’arc près, la mesure de l'angle entre la droite d’équation 𝐫 égale neuf 𝐢 plus huit 𝐣 moins cinq 𝐤 plus 𝑡 fois 𝐢 plus 𝐣 moins trois 𝐤 et la normale au plan d’équation 𝐫 scalaire moins trois 𝐢 plus deux 𝐣 plus cinq 𝐤 égale moins sept.

Bien, on a ici l'équation d'une droite et l'équation d'un plan. Il faut faire attention à la façon dont on lit la question car on nous demande de déterminer la mesure de l'angle, pas entre la droite et le plan, mais entre la droite et la normale au plan. Autrement dit, si l'on voit notre plan de manière latérale et que cette barre orange représente notre droite, ce n'est pas cet angle que nous devons déterminer. Mais plutôt si 𝐧 est un vecteur normal à notre plan, on veut déterminer l'angle entre ce vecteur et notre droite.

On l'appellera l'angle thêta. Pour faciliter la détermination de cet angle, on peut se rappeler que l'angle entre un plan et une droite est donné par cette expression. Comme nous l'avons vu, en utilisant cette expression en particulier, on ne calculera pas ce que nous avons marqué comme thêta, mais bien plutôt cet angle-ci. En fait, l'angle que nous voulons calculer entre la normale au plan et la droite correspond à cet angle ici soustrait de 90 degrés. Autrement dit, pour calculer l'angle entre une normale au plan et une droite, on va décaler notre fonction trigonométrique de 90 degrés du sinus au cosinus.

Donc maintenant, le thêta de cette expression et le thêta que nous voulons déterminer coïncident. On peut calculer cet angle en cherchant un vecteur qui, d'abord, est parallèle à notre droite, qu'on appelle 𝐩, et un autre qui est normal à notre plan. On l'a appelé 𝐧. On peut trouver ces vecteurs en examinant les équations données pour notre droite et pour notre plan. Avec une notation légèrement différente, on peut écrire l'équation de notre droite comme ceci. L'équation nous dit que notre droite passe par le point neuf, huit, moins cinq et qu'elle est parallèle au vecteur un, un, moins trois. On peut donc dire que ce sont les composantes de notre vecteur 𝐩 parallèle à notre droite.

Considérons ensuite l'équation de notre plan, donnée sous ce qu'on appelle la forme vectorielle. Ainsi, le vecteur dont les composantes sont moins trois, deux et cinq est considéré comme normal à la surface du plan. Donc on peut écrire 𝐧 égale moins trois, deux, cinq. Nous avons maintenant les deux vecteurs que nous devons substituer dans notre équation pour le cosinus de thêta.

En introduisant 𝐩 et 𝐧, nous obtenons cette expression, et nous pouvons commencer à calculer le membre de droite en calculant ce produit scalaire et en portant au carré les différentes composantes de ces deux vecteurs. On obtient cette fraction, qui se simplifie en 16 sur racine de 11 fois 38. Ce qui est égal au cosinus de thêta. Pour déterminer thêta lui-même, on prend donc l’arccosinus des deux membres. Si on calcule cette expression et qu'on arrondit à la seconde près, on aboutit au résultat de 38 degrés, 30 minutes et sept secondes. Il s'agit de la mesure de l'angle entre la droite et la normale au plan donné.

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