Vidéo : Applications linéaires et matrices

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Applications linéaires et matrices

10:58

Transcription de vidéo

Salut tout le monde ! Si je devais choisir un seul sujet qui fait que tous les autres de l’algèbre linéaire viennent ensuite et qui, trop souvent, est désapprouvé lors de la première utilisation de l’algèbre linéaire par un élève, ce serait celui-ci : l’idée d’une application linéaire et sa relation aux matrices.

Pour cette vidéo, je vais me concentrer sur ce à quoi ressemblent ces applications dans le cas de deux dimensions et sur leur lien avec l’idée de multiplication matrice-vecteur. En particulier, je veux vous montrer une façon de penser à la multiplication matrice-vecteur qui ne repose pas sur la mémorisation. Pour commencer, analysons simplement ce terme « application linéaire ». « Application » est essentiellement un mot fantaisiste pour « fonction ». C’est quelque chose qui prend des entrées et génère une sortie pour chacune.

En particulier dans le contexte de l’algèbre linéaire, nous aimons penser aux applications qui prennent un vecteur et en crachent un autre. Alors, pourquoi utiliser le mot « application » au lieu de « fonction » s’ils veulent dire la même chose ? Eh bien, cela suggère une certaine manière de visualiser cette relation entrée-sortie. Vous voyez, un bon moyen de comprendre les fonctions des vecteurs consiste à utiliser le mouvement. Si une application prend un vecteur d’entrée pour donner un vecteur en sortie, nous imaginons que ce vecteur d’entrée passe sur le vecteur de sortie. Ensuite, pour comprendre l’application dans son ensemble, imaginons que l’on regarde tous les vecteurs d’entrée possibles se déplacer vers le vecteur de sortie correspondant.

Il devient très encombrant de penser à tous les vecteurs en même temps, chacun avec sa flèche. Ainsi, comme je l’ai mentionné dans la dernière vidéo, une astuce consiste à conceptualiser chaque vecteur, non pas comme une flèche, mais comme un seul point : le point où se trouve son extrémité. Pour penser à une application prenant tous les vecteurs d’entrée possibles en un vecteur de sortie, nous observons chaque point de l’espace se déplacer vers un autre point. Dans le cas des applications en deux dimensions, j’aime bien le faire avec tous les points d’une grille infinie pour mieux comprendre l’ensemble de la « forme » de l’application. J’aime aussi parfois garder une copie de la grille en arrière-plan, juste pour garder une trace de l’endroit où tout se termine par rapport à l’endroit où il commence.

L’effet pour diverses applications, se déplaçant autour de tous les points de l’espace, est, tu dois l’admettre, beau. Cela donne l’impression d’écraser et de transformer l’espace lui-même. Comme vous pouvez l’imaginer, les applications arbitraires peuvent sembler assez compliquées, mais heureusement, l’algèbre linéaire se limite à un type spécial d’application, plus facile à comprendre, appelé applications « linéaires ». Visuellement, une application est linéaire si elle a deux propriétés: toutes les droites doivent rester des droites, sans se courber, et l’origine doit rester fixe.

Par exemple, cela ici ne serait pas une application linéaire puisque les droites deviennent toutes courbes. Et celle-ci, même si elle maintient la droite rectiligne, n’est pas une application linéaire car elle déplace l’origine. Celui-ci fixe l’origine et il semblerait que cela garde une ligne droite, mais c’est simplement parce que je ne montre que les lignes de grille horizontales et verticales. Lorsque vous voyez ce que fait une droite en diagonale, il devient clair que ce n’est pas du tout linéaire puisque cette ligne est toute courbée.

En général, vous devez considérer les applications linéaires comme un moyen de garder les lignes de la grille parallèles et régulièrement espacées. Certaines applications linéaires sont simples à penser, comme les rotations autour de l’origine. D’autres sont un peu plus difficiles à décrire avec des mots. Alors, comment pensez-vous pouvoir décrire numériquement ces applications ? Si, par exemple, vous programmiez des animations pour créer une vidéo expliquant le sujet, quelle formule donnez-vous à l’ordinateur pour que, si vous lui donnez les coordonnées d’un vecteur, il puisse vous donner les coordonnées de l’emplacement de ce vecteur ? Il s’avère que vous devez uniquement enregistrer l’emplacement des deux vecteurs de base, 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau, et tout le reste en découlera.

Par exemple, considérons le vecteur 𝐯 avec les coordonnées moins un, deux, ce qui signifie qu’il est égal à moins une fois 𝑖 chapeau plus deux fois 𝑗 chapeau. Si nous effectuons une application et que nous suivons où ces trois vecteurs vont, la propriété que les lignes de la grille restent parallèles et régulièrement espacées a une conséquence très importante : l’endroit où 𝐯 atterrit sera moins une fois le vecteur où 𝑖 chapeau atterrit plus deux fois le vecteur où 𝑗 chapeau a atterri. En d’autres termes, il a commencé comme une certaine combinaison linéaire de 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau, et il finit par la même combinaison linéaire où ces deux vecteurs ont débarqué. Cela signifie que vous pouvez déduire où 𝐯 doit aller en vous basant uniquement sur l’endroit où 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau atterrit. C’est pourquoi j’aime conserver une copie de la grille d’origine en arrière-plan. pour l’application montrée ici, nous pouvons lire que 𝑖 chapeau atterrit sur les coordonnées un, moins deux et 𝑗 chapeau atterrit sur l’axe des 𝑥 aux coordonnées trois, zéro. Cela signifie que le vecteur représenté par moins un 𝑖 chapeau plus deux fois 𝑗 chapeau finit sur moins une fois le vecteur un, moins deux plus deux fois le vecteur trois, zéro. En additionnant tout cela, vous pouvez en déduire qu’il doit atterrir sur le vecteur cinq, deux.

C’est un bon point pour faire une pause et réfléchir car c’est très important. Maintenant, étant donné que je vous montre en fait l’application complète, vous auriez pu simplement regarder si le 𝐯 a les coordonnées cinq, deux. Mais la partie cool ici est que cela nous donne une technique pour en déduire où les vecteurs atterrissent, tant que nous avons noté où 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau atterrissent, sans avoir besoin de regarder l’application elle-même. Écrivez le vecteur avec les coordonnées plus générales 𝑥 et 𝑦, et il atterrira sur 𝑥 fois le vecteur où 𝑖 atterrit — un, moins deux — plus 𝑦 fois le vecteur où 𝑗 atterrit — trois, zéro. La réalisation de cette somme, vous voyez qu’il atterrit à un 𝑥 plus trois 𝑦, moins deux 𝑥 plus zéro 𝑦. Je vous donne n’importe quel vecteur, et vous pouvez me dire où ce vecteur atterrit en utilisant cette formule.

Ce que tout cela dit, c’est qu’une application linéaire bidimensionnelle est complètement décrite par quatre nombres seulement : les deux coordonnées où 𝑖 chapeau atterrit et les deux coordonnées où 𝑗 chapeau atterrit. N’est-ce pas cool ?! Il est courant de regrouper ces coordonnées dans une grille de nombres deux par deux, appelée matrice deux par deux, dans laquelle vous pouvez interpréter les colonnes comme les deux vecteurs spéciaux sur lesquels 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau atterrissent. Si vous recevez une matrice deux par deux décrivant une application linéaire et un vecteur spécifique et que vous voulez savoir où cette application linéaire envoie ce vecteur, vous pouvez multiplier les coordonnées du vecteur par les colonnes correspondantes de la matrice, puis additionnez ce que vous obtenez. Cela correspond à l’idée d’ajouter les versions à l’échelle de nos nouveaux vecteurs de base.

Voyons voir à quoi cela ressemble dans le cas le plus général, où votre matrice a des entrées 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Et rappelez-vous, cette matrice n’est qu’un moyen de regrouper les informations nécessaires à la description d’une application linéaire. Rappelez-vous toujours d’interpréter cette première colonne — 𝑎, 𝑐 — comme le lieu où le premier vecteur de base atterrit et que la seconde colonne — 𝑏, 𝑑 — comme le lieu où le deuxième vecteur de base atterrit. Lorsque nous appliquons cette application à un vecteur — 𝑥, 𝑦 — qu’obtenez -vous ? Eh bien, ce sera 𝑥 fois 𝑎, 𝑐, plus 𝑦 fois 𝑏, 𝑑. En réunissant cela, vous obtenez un vecteur 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦. Vous pouvez même définir ceci comme une multiplication matrice-vecteur lorsque vous placez la matrice à gauche du vecteur comme si c’était une fonction. Ensuite, vous pourriez inciter les lycéens à mémoriser cela, sans leur montrer la partie cruciale qui le rend intuitif. Mais n’est-il pas plus amusant de penser à ces colonnes comme aux versions transformées de vos vecteurs de base et aux résultats comme à une combinaison linéaire appropriée de ces vecteurs ?

Essayons de décrire quelques applications linéaires avec des matrices. Par exemple, si nous faisons pivoter tout l’espace de 90 degrés dans le sens trigonométrique, 𝑖 chapeau atterrit sur les coordonnées zéro, un, et 𝑗 chapeau atterrit sur les coordonnées moins un, zéro. Donc, la matrice avec laquelle nous nous retrouvons a les colonnes zéro, un ; moins un, zéro. Pour comprendre ce qu’il advient d’un vecteur après une rotation de 90 degrés, il vous suffit de multiplier ses coordonnées par cette matrice.

Voici une application amusante avec un nom spécial, appelé « cisaillement ». Dans celle-ci, 𝑖 chapeau reste fixe, la première colonne de la matrice est donc un, zéro, mais 𝑗 chapeau se déplace vers les coordonnées un, un, qui deviennent la deuxième colonne de la matrice. Et, au risque d’être redondant ici, comprendre comment un cisaillement transforme un vecteur donné revient à multiplier cette matrice par ce vecteur.

Disons que nous voulons faire l’inverse, en commençant par la matrice, par exemple, avec les colonnes un, deux et trois, un. et nous voulons en déduire à quoi ressemble son application. Faites une pause et prenez un moment pour voir si vous pouvez l’imaginer. Une façon de faire est de commencer par déplacer 𝑖 chapeau à un, deux. Ensuite, déplacer 𝑗 chapeau à trois, un. Toujours déplacer le reste de l’espace de manière à maintenir les lignes de la grille parallèles et régulièrement espacées. Si les vecteurs sur lesquels 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau atterrissent sont linéairement dépendants, ce qui, si vous vous rappelez de la dernière vidéo, signifie que l’un est une version mise à l’échelle de l’autre, cela signifie que l’application linéaire écrase tout l’espace 2D sur la droite où ces deux vecteurs atterrissent, également connu comme étant l’espace à une dimension de ces deux vecteurs linéairement dépendants.

En résumé, les applications linéaires sont un moyen de se déplacer dans l’espace de telle sorte que les lignes de la grille restent parallèles et espacées régulièrement et que l’origine reste fixe. Délicieusement, ces applications peuvent être décrites en utilisant seulement une poignée de nombres. Les coordonnées de l’emplacement de chaque vecteur de base. Les matrices nous donnent un langage pour décrire ces applications où les colonnes représentent ces coordonnées et la multiplication matrice-vecteur est juste un moyen de calculer ce que cette application fait à un vecteur donné.

Il est important de noter que chaque fois que vous voyez une matrice, vous pouvez l’interpréter comme une certaine application de l’espace. Une fois que vous avez vraiment assimilé cette idée, vous êtes bien placé pour comprendre profondément l’algèbre linéaire. Presque tous les sujets à venir, de la multiplication matricielle aux déterminants, en passant par le changement de base, les valeurs propres, seront plus faciles à comprendre une fois que vous commencerez à penser aux matrices comme des applications de l’espace. Très immédiatement, dans la vidéo suivante, je parlerai de la multiplication de deux matrices ensemble. À plus tard !

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