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Vidéo de la leçon: Cordes parallèles et tangentes dans un cercle Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les cordes parallèles d’un cercle ainsi que les tangentes et cordes parallèles pour déduire les mesures égales des arcs entre elles et trouver les longueurs ou les angles manquants.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les cordes parallèles d’un cercle ainsi que les tangentes et cordes parallèles pour déduire les mesures égales des arcs entre elles et trouver les longueurs ou les angles manquants. Commençons par récapituler une partie de la terminologie clé des cercles. Considérons ce cercle, dont le centre est au point 𝑚. Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur la circonférence du cercle. Dans la figure, le segment 𝐴𝐵, qui est noté avec une barre au-dessus des lettres 𝐴𝐵, est une corde du cercle. Ensuite, une tangente à un cercle est une droite qui coupe le cercle exactement une fois. Dans la figure ici, la droite 𝐶𝐷, qui est noté avec une flèche à deux têtes au-dessus de 𝐶𝐷, est une tangente au cercle au point 𝑃.

Lorsque ces lignes sont ajoutées à un cercle, les points de rencontre du cercle divisent sa circonférence en un certain nombre d’arc. Par exemple, il y a deux arcs entre les points 𝐴 et 𝐵. L’arc le plus court est appelé arc mineur 𝐴𝐵. Il s’agit de l’arc dont la mesure est inférieure à 180 degrés. Et nous utilisons la notation arc au-dessus des lettres 𝐴𝐵 pour le représenter. En se déplaçant de 𝐴 vers 𝐵 dans la direction opposée, l’arc a une mesure supérieure à 180 degrés et on l’appelle arc majeur. Une façon de faire la différence entre l’arc mineur et l’arc majeur est d’inclure le point 𝑃 lorsque nous représentons l’arc majeur. Nous pourrions écrire ceci comme arc 𝐴𝑃𝐵.

Donc, avec ces définitions à l’esprit, nous pouvons définir un théorème qui relie des cordes parallèles et des arcs dans un cercle. Ce théorème nous dit que les arcs entre des cordes parallèles d’un cercle ont la même mesure. Sur cette figure, puisque 𝐴𝐵 est parallèle au segment 𝐷𝐶, la mesure de l’arc 𝐴𝐶 - ici - est égale à la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Cela signifie également, bien sûr, que ces deux arcs sont isométriques. Ceci est vraiment utile pour résoudre des problèmes.

Maintenant, bien que la preuve de ce théorème sorte du cadre de cette vidéo, avec une certaine connaissance des angles et des droites parallèles coupées par des droites et inscrits dans un cercle, cela peut être prouvé en quelques étapes. Appliquons donc ce théorème ainsi que d’autres propriétés des cordes pour trouver la mesure d’un arc.

Sur la figure donnée, si la mesure de l’arc 𝐵𝐷 est égale à 65 degrés, trouvez la mesure de l’arc 𝐶𝐷.

Sur la figure, nous pouvons remarquer qu’il nous est donné une paire de cordes parallèles. Autrement dit, le segment 𝐴𝐵 est parallèle au segment 𝐶𝐷. Et nous rappelons que les arcs formés par une paire de cordes parallèles sont isométriques. Donc, l’arc 𝐴𝐶 et l’arc 𝐵𝐷 sont isométriques, ce qui signifie que les mesures de ces arcs doivent être égales. Et ainsi, nous voyons que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 est de 65 degrés.

Ensuite, on peut voir que le segment de droite 𝐴𝐵 passe en fait par le centre du cercle. Ce doit donc être un diamètre du cercle. Et ainsi, il divise ce cercle exactement en deux. Et donc on peut dire que la mesure des deux arcs 𝐴𝐵 est de 180 degrés. Maintenant, bien sûr, nous sommes intéressés par la partie du cercle qui passe par les points 𝐶 et 𝐷. Nous avons donc appelé cela la mesure de l’arc 𝐴𝐶𝐷𝐵. L’énoncé souhaite que nous trouvions la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Et nous savons maintenant que la mesure totale de tous les arcs individuels entre 𝐴 et 𝐵 est de 180 degrés. On peut donc dire que la somme de la mesure de l’arc 𝐴𝐶, de la mesure de l’arc 𝐶𝐷 et de la mesure de l’arc 𝐷𝐵 vaut 180. Mais rappelez-vous, nous avons dit que les arcs 𝐴𝐶 et 𝐷𝐵 sont isométriques et que leur mesure est de 65 degrés. Donc, notre équation devient 65 degrés plus la mesure de l’arc 𝐶𝐷 plus 65 degrés égal à 180. Et alors nous pouvons simplifier ce côté gauche.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour trouver la mesure de l’arc 𝐶𝐷 en soustrayant 130 des deux côtés. Donc, cela donne 180 moins 130, ce qui vaut bien sûr 50. La mesure de l’arc 𝐶𝐷 est donc de 50 degrés.

Maintenant que nous avons résolu ce problème, il existe une autre propriété qui, elle, s’applique aux cordes parallèles de longueurs égales. D’après cette propriété, si deux cordes sont parallèles et de même longueur, alors les arcs entre les extrémités de ces cordes ont la même mesure. Sur la figure, les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles et de même longueur. Donc, ce qui est plutôt intuitif, la mesure de l’arc 𝐴𝐵 doit être égale à la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Dans notre exemple suivant, nous allons montrer comment appliquer cette propriété.

Sur la figure, la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est égale à 62 degrés, la mesure de l’arc 𝐵𝐶 est égale à 110 degrés et la mesure de l’arc 𝐴𝐷 est égale à 126 degrés. Que peut-on conclure sur les segments 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶? (A) Ils sont parallèles. (B) Ils ne sont ni parallèles ni perpendiculaires. (C) Ils sont perpendiculaires. (D) Ils sont de même longueur. (E) Ils sont parallèles et de même longueur.

Commençons par ajouter la mesure de chacun des arcs sur la figure. D’après l’énoncé, on sait que la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est égale à 62 degrés, la mesure de l’arc 𝐵𝐶 est égale à 110 degrés et la mesure de l’arc 𝐴𝐷 est égale à 126 degrés. Puisque la mesure de chaque arc est l’angle que l’arc fait par rapport au centre du cercle, il s’ensuit que la somme de toutes les mesures d’arc qui composent ce cercle est de 360 degrés. Et cela est vraiment utile car cela nous permettra de calculer la mesure de l’arc 𝐶𝐷.

Nous avons donc dit que la somme des mesures d’arc est de 360 degrés. Et puis nous pouvons remplacer les différentes mesures d’arc par leurs valeurs. Ainsi, la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est 62, la mesure de l’arc 𝐵𝐶 est 110, et ainsi de suite. Ce membre gauche se simplifie à 298 degrés plus la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Et ainsi, nous pouvons trouver cette mesure de l’arc 𝐶𝐷 en soustrayant 298 des deux côtés. Cela donne 360 moins 298, ce qui vaut bien sûr 62 degrés.

Alors pourquoi est-ce utile? Bien, nous savons que les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales, et l’inverse est également vrai. Autrement dit, si les mesures de deux arcs entre deux cordes distinctes sont égales, ces cordes doivent alors être parallèles. Or, nous savons ici que la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est égale à la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Et cela signifie donc que les segments de droite 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 sont nécessairement parallèles. Nous pouvons donc ignorer les options (B), (C) et (D). Et donc nous devons choisir entre l’option (A) et l’option (E), où l’option (A) est qu’ils sont parallèles et l’option (E) est qu’elles sont non seulement parallèles, mais ont également la même longueur.

Bien, si les cordes sont parallèles et de longueur égale, alors les arcs entre les extrémités des cordes auront la même mesure. Mais nous pouvons voir que la mesure de l’arc 𝐵𝐶 n’est pas égale à la mesure de l’arc 𝐴𝐷. Ils sont en fait de 110 et 126 degrés, respectivement. Donc 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷 ne peuvent pas être de même longueur. Et donc la réponse est (A). Ils sont parallèles.

Dans cet exemple, nous avons vu que la réciproque de notre théorème précédent est valable. Si les mesures des deux arcs entre deux cordes distinctes sont égales, alors les cordes elles-mêmes doivent être parallèles. Nous allons maintenant étendre notre idée des cordes parallèles pour inclure une corde parallèle et une tangente.

Le théorème suivant affirme que les arcs entre une corde et une tangente parallèles d’un cercle ont la même mesure. Dans cette figure, le segment ou la corde 𝐴𝐵 est parallèle à la tangente en 𝐶. On peut donc dire que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 doit être égale à la mesure de l’arc 𝐵𝐶. Ce théorème étant maintenant énoncé, montrons son application.

𝑚 est le centre d’un cercle, où le segment 𝐴𝐵 est une corde et la droite 𝐶𝐷 est une tangente. Si 𝐴𝐵 est parallèle à 𝐶𝐷 et que la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est de 72 degrés, trouvez la mesure de l’arc 𝐵𝐶.

Puisque 𝐴𝐵 est parallèle à 𝐶𝐷, où 𝐴𝐵 est une corde et 𝐶𝐷 une tangente, nous pouvons utiliser un théorème. Nous allons utiliser le théorème qui dit que les arcs entre une corde et une tangente parallèles d’un cercle ont la même mesure. On peut donc dire que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 doit être égale à la mesure de l’arc 𝐵𝐶. En fait, l’énoncé nous dit que la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est de 72 degrés. Et nous pouvons utiliser le fait que la somme de toutes les mesures de tous les arcs qui composent le cercle est de 360 degrés. Cela signifie que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐴𝐵, qui est de 72 degrés, plus la mesure de l’arc 𝐵𝐶, est de 360. Ensuite, nous soustrayons 72 degrés des deux côtés. Et nous constatons que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐶 est de 288 degrés.

Mais plus tôt, nous avions conclu que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 est égale à la mesure de l’arc 𝐵𝐶. On peut donc dire que deux fois la mesure de l’arc 𝐵𝐶 est de 288 degrés. Et ensuite nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par deux. La mesure de l’arc 𝐵𝐶 est donc de 288 divisé par deux, ce qui vaut 144 degrés. La mesure de l’arc 𝐵𝐶 est de 144 degrés.

Dans les exemples que nous avons vus jusqu’à présent, nous avons appliqué les théorèmes des cordes et tangentes parallèles dans un cercle pour trouver les valeurs manquantes en fonction des informations sur les cordes et les tangentes. Maintenant, il est utile de se rappeler que ces propriétés peuvent être combinées aux propriétés géométriques des polygones pour nous aider à trouver les valeurs manquantes. Faisons-en une démonstration.

Dans la figure suivante, un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est inscrit dans un cercle, où la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est égale à 71 degrés. Trouvez la mesure de l’arc 𝐴𝐷.

Nous allons utiliser le fait que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle. Cela signifie que le segment ou la corde 𝐴𝐵 est parallèle à la corde 𝐷𝐶. De même, le segment 𝐷𝐴 doit être parallèle au segment 𝐵𝐶. Cela signifie que nous pouvons utiliser le théorème qui nous dit que les arcs entre les cordes parallèles d’un cercle ont la même mesure. Puisque les segments 𝐴𝐵 et 𝐷𝐶 sont parallèles, la mesure de l’arc 𝐴𝐷 doit être égale à la mesure de l’arc 𝐵𝐶. De même, la mesure de l’arc 𝐴𝐵 doit être égale à la mesure de l’arc 𝐷𝐶. Mais on nous dit en fait que cet arc mesure 71 degrés.

Maintenant, puisque la somme de toutes les mesures d’arc qui composent le cercle est de 360 degrés, nous pouvons poser et résoudre une équation. Nous savons que la mesure de l’arc 𝐴𝐵 et la mesure de l’arc 𝐷𝐶 valent 71. Donc, notre équation est la mesure de l’arc 𝐴𝐷 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐶 plus 71 plus 71 est égal à 360. Puisque 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 sont des arcs isométriques, nous pouvons simplifier davantage cela. Deux fois la mesure de l’arc 𝐴𝐷 plus 142 degrés est égale à 360 degrés. Ensuite, nous soustrayons 142 degrés des deux côtés et notre dernière étape consiste à diviser par deux. Ainsi, la mesure de l’arc 𝐴𝐷 est de 218 divisé par deux, ce qui est égal à 109 ou 109 degrés. La mesure de l’arc 𝐴𝐷 est de 109 degrés.

Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment appliquer les théorèmes des cordes parallèles et des tangentes pour nous permettre de résoudre des problèmes avec des expressions algébriques pour les mesures d’arc.

Sur la figure suivante, 𝐴𝐵 et 𝐸𝐹 sont deux cordes égales. 𝐵𝐶 et 𝐹𝐸 sont deux cordes parallèles. Si la mesure de l’arc 𝐴𝐶 est de 120 degrés, trouvez la mesure de l’arc 𝐶𝐸.

Commençons par utiliser le fait que ces deux segments de droite 𝐴𝐵 et 𝐸𝐹 sont deux cordes égales. Puisqu’ils sont de même longueur, nous pouvons en déduire que la mesure de leurs arcs doit également être égale. Ainsi, la mesure de l’arc 𝐴𝐵 doit être égale à la mesure de l’arc 𝐸𝐹. En fait, on nous dit que cela est égal à 𝑥 degrés. Ensuite, nous utilisons les informations sur 𝐵𝐶 et 𝐹𝐸. Ce sont des cordes parallèles. Cela signifie que les mesures des arcs entre ces deux cordes sont égales. Autrement dit, la mesure de l’arc 𝐶𝐸 doit être égale à la mesure de l’arc 𝐵𝐹. Et cette fois, on nous dit aussi que cela est égal à 𝑥 plus 30 degrés.

En combinant cette information avec la mesure de l’arc 𝐴𝐶, nous pouvons utiliser le fait que la somme de toutes les mesures de l’arc est de 360 degrés. Nous allons donc poser et résoudre une équation. La somme des arcs est 𝑥 plus 𝑥 plus 30 plus 𝑥 plus 𝑥 plus 30 plus 120. Et cela doit être égal à 360. Et ainsi, le côté gauche se simplifie à quatre 𝑥 plus 180. Donc, quatre 𝑥 plus 180 degrés est égal à 360. On peut donc dire que quatre 𝑥 doit être égal à 180. Et nous pouvons alors résoudre pour trouver 𝑥 en divisant par quatre. Donc, 𝑥 degrés est égal à 45 degrés. Nous voulons trouver la mesure de l’arc 𝐶𝐸 et nous avons dit que cela était égal à 𝑥 plus 30. Ainsi, la mesure de l’arc 𝐶𝐸 est de 45 plus 30, ce qui est égal à 75 degrés. La mesure de l’arc 𝐶𝐸 est alors de 75 degrés.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que les arcs entre des cordes parallèles d’un cercle ont la même mesure. Nous avons également appris que si deux cordes sont parallèles et de même longueur, alors les arcs entre les extrémités de chaque corde auront également la même mesure. Et enfin, nous avons appris que les arcs entre une corde et une tangente parallèle d’un cercle ont la même mesure.

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