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Vidéo question :: Déterminer la dérivée troisième d’une fonction logarithmique Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez d³𝑦 / d𝑥³ (la dérivée de la dérivée seconde) sachant que 𝑦 = (5/8) ln 4𝑥.

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Transcription de la vidéo

Déterminez la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥 (la dérivée de la dérivée seconde) sachant que 𝑦 est égal à cinq sur huit multiplié par le logarithme népérien de quatre 𝑥.

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑦 en termes de 𝑥 et on nous demande de trouver la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous allons donc devoir la dériver trois fois par rapport à 𝑥. Commençons par trouver la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. C’est la dérivée de cinq sur huit fois le logarithme népérien de quatre 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour ce faire, nous rappelons que la dérivée du logarithme népérien de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑥. Et nous pouvons utiliser cela pour dériver cette fonction en mettant d’abord le facteur constant cinq sur huit en dehors de la dérivée. Nous obtenons cinq sur huit multiplié par un sur 𝑥, ce qui se simplifie pour nous donner cinq sur huit 𝑥. Nous pouvons maintenant trouver la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 en dérivant cinq sur huit 𝑥 par rapport à 𝑥.

Et nous allons vouloir le faire en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Tout d’abord, nous allons réécrire cinq divisé par huit 𝑥 comme cinq sur huit multiplié par 𝑥 à la puissance moins un. Cela nous permet alors de dériver cela en utilisant la règle des puissances pour la dérivation qui nous dit que pour toutes les constantes réelles 𝑎 et 𝑛 la dérivée de 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑛 multiplié par 𝑥 à la puissance de 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 et réduisons cet exposant de un.

Dans ce cas, notre exposant de 𝑥 vaut moins un. Nous multiplions donc par l’exposant de 𝑥 qui est moins un, puis réduisons cet exposant de un. Cela nous donne moins cinq sur huit multiplié par 𝑥 à la puissance moins deux. Nous sommes maintenant prêts à trouver la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥. Pour ce faire, nous devons dériver la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous devons donc dériver moins cinq sur huit fois 𝑥 à la puissance moins deux par rapport à 𝑥.

Encore une fois, nous pouvons le faire en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 puis réduisons cet exposant de un. Nous obtenons moins deux fois moins cinq sur huit multiplié par 𝑥 à la puissance moins trois. Et nous pouvons simplifier cela. Nous avons un négatif multiplié par un négatif, c’est-à-dire un positif et nous pouvons éliminer le facteur commun de deux au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne cinq sur quatre fois 𝑥 à la puissance moins trois, que nous pouvons ensuite réécrire en utilisant les lois des exposants. On a 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛. Cela nous donne cinq divisé par quatre 𝑥 au cube, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝑦 est cinq divisé par huit fois le logarithme népérien de quatre 𝑥, alors la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à cinq divisé par quatre 𝑥 au cube.

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