Transcription de la vidéo
Une moto se déplaçant avec un vecteur vitesse de 20 mètres par seconde le long d’une route passe par une couche de boue qui s’étend sur cinq mètres et réduit continuellement le vecteur vitesse de la moto pendant que celle-ci la traverse. Le vecteur vitesse de la moto lorsqu’elle a complètement traversé la boue est de 15 mètres par seconde. Quelle a été l’accélération moyenne de la moto lors de son passage dans la boue ?
Bon, alors, dans cette question, nous savons que nous avons une moto qui conduit initialement le long d’une route. Alors, voici notre route et voici ce qui est censé être notre moto. Maintenant, on nous dit que cette moto traverse une couche de boue. Alors, voici notre couche de boue. Et on nous a dit que cette couche de boue mesure cinq mètres de long. Et puis, après cette couche de boue, on présume que la route continue.
Maintenant, on nous a dit qu’avant d’entrer dans la boue, la moto roulait avec un vecteur vitesse de 20 mètres par seconde. Nous allons dire que la moto roule vers la droite parce qu’elle doit traverser le boue. Et nous avons dessiné la boue à droite de la route sur laquelle elle se déplaçait initialement. Appelons maintenant le vecteur vitesse initial de la moto 𝑢. Et, bien sûr, 𝑢 est égal à 20 mètres par seconde.
Or, dès que la moto arrive dans la boue, elle subit une accélération due à la boue. Cependant, cela peut sembler un peu étrange. Pourquoi la moto subit-elle une accélération ? Eh bien, c’est parce que le terme accélération ne signifie pas nécessairement un vecteur vitesse qui augmente. Cela peut aussi signifier un ralentissement. Tant qu’il y a un changement de vecteur vitesse, nous pouvons appeler cela une accélération. Mais plus précisément, une accélération où l’objet ralentit peut également être appelée une décélération, ou une accélération négative.
Ainsi, la boue accélère la moto. Mais c’est une accélération négative parce que nous pouvons voir qu’après que la moto a quitté la boue, elle a un vecteur vitesse de 15 mètres par seconde. Parce que c’est ce qu’on nous a dit dans la question. Appelons ce nouveau vecteur vitesse 𝑉.
Donc, pour récapituler, la moto avance à 20 mètres par seconde. Et puis, dès qu’elle arrive au niveau de la boue, elle commence à décélérer, elle ralentit jusqu’à la fin de la boue. À ce stade, elle continue d’avancer avec son nouveau vecteur vitesse de 15 mètres par seconde. Donc, elle est passée de 20 mètres par seconde ici à 15 mètres par seconde là. Ce que nous devons faire, c’est de trouver l’accélération moyenne de la moto.
Maintenant, la raison pour laquelle nous devons trouver l’accélération moyenne est que, pendant que la moto roule dans la boue, elle ne subit pas nécessairement la même décélération à chaque point de la boue. Il peut y avoir des bosses qui accélèrent plus ou moins la moto. Mais ce n’est pas un problème. Nous pouvons simplement supposer que la décélération sur l’ensemble de la boue a été constante. Et nous devons trouver la valeur de cette accélération constante qui ferait passer une moto de 20 mètres par seconde à 15 mètres par seconde sur notre couche de boue de cinq mètres. Appelons cette accélération moyenne constante 𝑎, et nous devons déterminer sa valeur.
Pour ce faire, nous pouvons utiliser l’une des équations cinétiques. Plus précisément, nous devons utiliser cette équation. Cette équation nous dit que le carré du vecteur vitesse final d’un objet, dans ce cas, notre moto, est égal à son vecteur vitesse initial au carré plus deux fois son accélération multipliée par la distance sur laquelle il accélère. Maintenant, nous connaissons déjà les valeurs de 𝑉, 𝑢 et 𝑠. Parce que rappelez-vous, 𝑠 est de cinq mètres. C’est la longueur de la couche de boue sur laquelle la moto accélère. Et donc, la seule grandeur que nous ne connaissons pas dans cette équation est 𝑎. Et c’est exactement ce que nous cherchons.
Maintenant, gardez à l’esprit qu’avant de faire quoi que ce soit, nous devons nous rendre compte que parce que la moto décélère, c’est-à-dire qu’elle commence plus vite qu’elle ne finit, nous nous attendons à ce que la valeur de 𝑎 soit négative. En effet, la boue provoque essentiellement une accélération de la moto dans ce sens, dans le sens opposé à son mouvement. Et c’est ce qui ralentit la moto.
Et cela est lié à l’idée que l’accélération est en fait une grandeur vectorielle. Cela signifie qu’elle a non seulement une grandeur, mais aussi un sens. Et le fait que nous attendons une valeur négative pour l’accélération expliquera ce sens. Cela nous dira que l’accélération de la moto est dans le sens opposé au vecteur vitesse. Parce que nous supposons que le vecteur vitesse de tout objet qui se déplace dans ce sens est dans un sens positif.
Donc, pour trouver la valeur de 𝑎 en utilisant cette équation, nous devons d’abord la réorganiser. Commençons par soustraire 𝑢 au carré des deux côtés. De cette façon, sur le côté droit, nous avons 𝑢 carré moins 𝑢 carré, qui s’annule. Et donc, il nous reste 𝑉 carré moins 𝑢 carré à gauche et juste deux 𝑎𝑠 à droite.
Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par deux 𝑠 car de cette façon, les deux à droite s’annulent et les 𝑠 s’annulent également. Et cela nous laisse avec 𝑉 carré moins 𝑢 carré divisé par deux 𝑠 à gauche et juste l’accélération 𝑎 à droite. Donc, à ce stade, nous avons réarrangé l’équation comme nous le devons et nous pouvons maintenant insérer nos valeurs.
On peut dire que l’accélération de la moto 𝑎 est égale à 𝑉 au carré, le vecteur vitesse final au carré, qui est de 15 mètres par seconde au carré, moins 𝑢 au carré, le vecteur vitesse initial au carré, divisée par deux fois 𝑠, ou, autrement dit, deux fois cinq mètres. 𝑠 est la longueur de la couche de boue sur laquelle la moto décélère.
Maintenant, nous pouvons commencer par tout simplifier au numérateur. Nous voyons que 15 au carré est égal à 225. Et des mètres par seconde le tout au carré sont équivalents à des mètres carrés divisés par des secondes carrées. Et donc, nous avons pour ce terme, 225 mètres carrés par seconde carrée. Et puis, pour le deuxième terme, nous soustrayons 20 au carré, ce qui vaut 400. Et encore une fois, l’unité est le mètre carré par seconde carrée. Et donc, c’est exactement ce que nous écrivons pour le deuxième terme.
Maintenant, puisque les deux termes du numérateur ont les mêmes unités, mètres carrés par seconde carrée, nous pouvons donc soustraire 400 de 225. Et nous pouvons combiner les deux termes en un seul terme, qui devient moins 175 mètres carrés par seconde au carré. Ensuite, en regardant le dénominateur, nous voyons que deux multiplié par cinq mètres font 10 mètres. Et donc, nous écrivons cela au dénominateur. Ensuite, nous pouvons diviser moins 175 par 10 et nous pouvons diviser les unités mètres carrés par seconde au carré par des mètres.
En regardant pour l’instant seulement les unités, nous voyons qu’une puissance de mètres au numérateur s’annule avec la puissance des mètres au dénominateur, nous laissant avec seulement des mètres par seconde au carré comme unité globale. Et c’est exactement ce que nous voulons parce que nous recherchons une accélération sur le côté gauche. Et l’accélération a comme unité les mètres par seconde au carré.
Donc, tout ce qui nous reste à faire maintenant est de savoir ce que font moins 175 divisé par 10, ce qui s’avère être moins 17,5. Et l’unité, comme nous l’avons dit plus tôt, est le mètre par seconde carrée. Et comme on nous a demandé de trouver l’accélération moyenne de la moto lors de son passage dans la boue, nous sommes donc arrivés à notre réponse finale. Cette accélération est de moins 17,5 mètres par seconde au carré.