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Vidéo question :: Utilisation de la formule du centre de masse pour des barres homogènes pour déterminer le centre de masse d’un fil plié Mathématiques • Troisième année secondaire

Une barre homogène 𝐴𝐶 de longueur 36 cm est tordue au point 𝐵, où 𝐴𝐵 = 36/5 cm et 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 90 °. Ensuite la barre a été suspendue librement par son extrémité 𝐴. Déterminez la tangente de l’angle que forme 𝐵𝐶 avec l’horizontale.

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Une barre homogène 𝐴𝐶 de longueur 36 centimètres est tordue au point 𝐵, où 𝐴𝐵 égale 36 sur cinq centimètres, et la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 égale 90 degrés. Ensuite la barre a été suspendue librement par son extrémité 𝐴. Déterminez la tangente de l’angle que forme le segment 𝐵𝐶 avec l’horizontale.

Commençons par le schéma de ce scénario. Nous avons une barre 𝐴𝐵𝐶 qui est pliée au point 𝐵. La mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est un angle droit et la longueur de 𝐴𝐵 est de 36 sur cinq centimètres. Puisque la longueur totale de la barre est de 36 centimètres, la longueur de 𝐵𝐶 est de 36 moins 36 sur cinq centimètres. Cela se simplifie en 144 sur cinq centimètres. La barre a un centre de masse au point 𝑃, que nous pouvons approximativement deviner ici. Lorsque la barre est librement suspendue en 𝐴, son centre de masse pend directement en dessous. La droite passant par 𝐴 et 𝑃 est donc la verticale. La droite perpendiculaire à cette droite est donc l’horizontale.

On nous demande de trouver la tangente de l’angle que 𝐵𝐶 fait avec l’horizontale, qui est cet angle ici, thêta. Puisque l’horizontale est perpendiculaire à la verticale, cet angle ici est un angle droit. Ces trois angles au-dessus de la droite doivent totaliser 180 degrés. Par conséquent, l’angle ici est de 90 moins thêta. Et puisque les angles dans ce triangle doivent également totaliser 180 degrés, cet angle ici, 𝐵𝐴𝑃, est égal à thêta.

Définissons un système de coordonnées avec l’origine en 𝐴 et les 𝑥 positifs vers la droite et les 𝑦 positifs verticalement vers le bas. Ainsi, par exemple, la coordonnée 𝑦 du point 𝐵 est 36 sur cinq. Maintenant, la tangente de l’angle thêta sera donnée par la coordonnée 𝑥 du centre de masse, CDM 𝑥, sur la coordonnée 𝑦 du centre de masse, CDM 𝑦. Nous devons donc trouver la distance horizontale du centre de masse à 𝐴 et la distance verticale du centre de masse à 𝐴. Rappelons que le centre de masse d’une barre homogène se trouve en son milieu, de sorte que la barre homogène de longueur 𝑙 aura son centre de masse à distance 𝑙 sur deux des deux côtés.

Dans notre cas, la barre homogène est pliée, mais nous pouvons la modéliser comme deux barres homogènes distinctes, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Les centres de masse de chacune de ces barres seront en leurs points médians. Dans ce système de coordonnées, 𝐴𝐵 est verticale, donc la coordonnée 𝑥 de son centre de masse sera nulle et sa coordonnée 𝑦 sera en son milieu, qui est à mi-chemin de sa longueur de 36 sur cinq, soit 18 sur cinq. De même, le centre de masse de la barre 𝐵𝐶 a clairement une coordonnée 𝑦 de 36 sur cinq et une coordonnée 𝑥 en son milieu, donc la moitié de 144 sur cinq, soit 72 sur cinq.

Nous pouvons maintenant modéliser ces deux barres homogènes comme des particules en leurs centres de masse. Rappelons que pour le centre de masse d’un système de particules, la coordonnée 𝑥 est donnée par la somme des produits des masses individuelles 𝑚 𝑖 multipliée par leurs coordonnées 𝑥 𝑖 divisée par la masse totale, et de même pour la coordonnée 𝑦. Nous ne connaissons pas actuellement les masses des barres, mais comme ce sont des barres homogènes, elles ont une densité uniforme. Par conséquent, leurs masses seront proportionnelles à leurs longueurs. Puisque la barre est homogène, sa position d’équilibre est indépendante de sa densité. Supposons donc que la barre ait une densité de un kilogramme par centimètre. La masse de la première barre 𝐴𝐵 est donc de 36 sur cinq kilogrammes. Et la masse de la deuxième barre 𝐵𝐶 est de 144 sur cinq kilogrammes.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour trouver le centre de masse de la barre complète. Pour la coordonnée 𝑥 du centre de masse, nous avons la masse de 𝐴𝐵, qui est 36 sur cinq kilogrammes, multipliée par sa coordonnée 𝑥, qui est zéro, puis la masse de 𝐵𝐶, qui est 144 sur cinq kilogrammes, multiplié par sa coordonnée 𝑥, 72 sur cinq. Nous divisons ensuite par la masse totale, qui est 36 sur cinq plus 144 sur cinq. Cela se simplifie en 288 sur 25, que nous pouvons placer dans notre formule pour tangente thêta.

Maintenant, nous devons répéter le processus pour la coordonnée 𝑦. Nous prenons la masse de la première barre 𝐴𝐵, qui est 36 sur cinq, multipliée par la coordonnée 𝑦 de son centre de masse, 18 sur cinq. Ensuite, nous prenons la masse de la deuxième barre 𝐵𝐶, qui est 144 sur cinq, multipliée par la coordonnée 𝑦 de son centre de masse, qui est 36 sur cinq, puis divisée par la masse totale, qui est 36 sur cinq plus 144 sur cinq. Et cela se simplifie en 162 sur 25. Nous pouvons substituer cela dans notre expression pour tangente thêta, ce qui nous donne 288 sur 25 sur 162 sur 25. Les 25 s’éliminent en nous donnant 288 sur 162. Et la simplification nous donne la réponse finale, la tangente de l’angle que 𝐵𝐶 fait avec l’horizontale, est 16 sur neuf.

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