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Vidéo de question : Simplifier des fonctions rationnelles et déterminer leur ensemble de définition Mathématiques

Simplifiez la fonction d’expression 𝑓 (𝑥) = (𝑥² + 2𝑥) / (𝑥² - 4) et déterminez son ensemble de définition.

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Transcription de vidéo

Simplifiez la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 égal 𝑥 au carré plus deux 𝑥 sur 𝑥 au carré moins quatre et déterminez son ensemble de définition.

𝑓 de 𝑥 est l’expression d’une fonction rationnelle et donc l’expression dans le membre de droite est une fraction algébrique. Pour simplifier cette fraction, nous devons rechercher les facteurs communs au numérateur et au dénominateur que nous pourrons par la suite éliminer. Notre première tâche consiste donc à factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur. En commençant par le numérateur, nous pouvons voir que les deux termes, 𝑥 au carré et deux 𝑥, ont un facteur commun à savoir 𝑥. En effet, 𝑥 au carré est égal à 𝑥 fois 𝑥 et deux 𝑥 est égal à 𝑥 fois deux. Et ainsi, en utilisant la propriété de distributivité, leur somme est égale à 𝑥 facteur de 𝑥 plus deux.

Passons maintenant au dénominateur qui est 𝑥 au carré moins quatre et nous remarquons alors qu’il est égal à la différence de deux carrés. Il est donc égal à 𝑥 moins deux facteur de 𝑥 plus deux. Maintenant que le numérateur et le dénominateur sont entièrement factorisés, nous pouvons voir qu’ils ont un facteur commun à savoir 𝑥 plus deux. Nous pouvons ainsi le simplifier. Et par conséquent, nous voyons que la forme irréductible de 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 sur 𝑥 moins deux et que nous ne pouvons pas la simplifier davantage.

Maintenant que nous avons simplifié l’expression de la fonction, nous devons déterminer son ensemble de définition. L’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble des valeurs pour lesquelles l’expression de son dénominateur est différent de zéro. En d’autres termes, c’est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble des valeurs qui annulent le dénominateur de l’expression de la fonction rationnelle. Si vous regardez la fonction sous sa forme irréductible, vous pourriez être tenté de penser que la seule valeur de 𝑥 pour laquelle le dénominateur est nul est 𝑥 égal deux. Cependant, le dénominateur de la fonction tel qu’il a été défini initialement, est 𝑥 au carré moins quatre et non 𝑥 moins deux. Et si vous regardez la forme factorisée de ce dénominateur, il est facile de voir qu’il y a en fait deux valeurs de 𝑥 pour lesquelles ce dénominateur est nul et ce sont deux et moins deux. L’ensemble de définition est donc l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué des éléments moins deux et deux.

Voici donc notre réponse : pour toute valeur de 𝑥 appartenant à l’ensemble de définition, 𝑓 de 𝑥 égal 𝑥 sur 𝑥 moins deux. Cependant, l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des nombres réels à l’exception des nombres moins deux et deux. Si la fonction avait été initialement définie juste par 𝑥 sur 𝑥 moins deux, l’ensemble de définition aurait été plus grand. Il aurait été égal à l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué du nombre deux. Si la fonction avait été initialement définie juste par 𝑥 sur 𝑥 moins deux, alors son ensemble de définition serait simplement égal à l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué du nombre deux. Si nous n’avions pas exclu ce moins deux de l’ensemble de définition, nous n’aurions pas le droit de simplifier par 𝑥 plus deux le numérateur et le dénominateur, car nous aurions en fait divisé en haut et en bas par zéro.

Ainsi, bien qu’il soit souvent possible de simplifier une fonction rationnelle, le processus de simplification ne change pas l’ensemble de définition de la fonction. Et donc quand on parle de l’ensemble de définition d’une fonction, vous devez considérer la définition initiale de la fonction et non la version simplifiée que vous pourriez obtenir après simplification.

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