Transcription de la vidéo
Déterminez la suite arithmétique sachant que la somme des cinquième et dixième termes est moins 297 et que le septième terme est quatre fois plus grand que le quatrième terme.
Tout d’abord, nous devons penser à ce que nous savons à propos d’une suite arithmétique. Si le premier terme d’une suite arithmétique est 𝑎 indice un, le deuxième terme sera égal à la somme du premier terme et de la raison 𝑟 et le troisième terme sera égal à la somme du deuxième terme et de la raison 𝑟. Et ainsi de suite jusqu’au terme 𝑎 indice 𝑛. Et par 𝑎 indice 𝑛, on désigne n’importe quel terme de rang 𝑛 dans la suite.
Mathématiquement, si on veut calculer un terme dans une suite, on doit connaitre deux choses : le premier terme et la raison, 𝑟. Dans notre cas, nous n’avons ni le premier terme, ni la raison, alors comment alors nous aborder ce problème ? Nous savons que la somme des cinquième et dixième termes est moins 297. Nous pouvons écrire l’équation suivante 𝑎 indice cinq plus 𝑎 indice 10 égal moins 297. Nous savons également que le septième terme est quatre fois plus grand que le quatrième terme. Et donc, nous pouvons écrire l’expression suivante : 𝑎 indice sept est égal à quatre fois 𝑎 indice quatre.
Dans ces deux équations, cependant, nous avons quatre variables. Et comme nous n’avons que deux équations, nous ne pouvons pas déterminer quatre variables différentes. Nous devons essayer d’écrire ces équations avec des termes différents. En fait, nous voulons réécrire ces équations en fonction du premier terme et de la raison. Par exemple, nous savons que 𝑎 indice cinq est égal à 𝑎 indice un plus quatre fois 𝑟. Puisqu’on a à faire au cinquième terme, on multiplie la raison par quatre.
𝑎 indice 10 est donc égal à 𝑎 indice un plus neuf r. 𝑎 indice sept est égal à 𝑎 indice un plus six 𝑟. Et 𝑎 indice quatre est égal à 𝑎 indice un plus trois 𝑟. Et maintenant, nous allons remplacer nos quatre variables par ces nouvelles valeurs. Dans la première équation, nous aurons 𝑎 indice un plus quatre 𝑟 plus 𝑎 indice un plus neuf 𝑟 égal moins 297. Ici, nous pouvons combiner les termes similaires. Deux 𝑎 indice un plus 13𝑟 égal moins 297. Et dans la seconde équation, nous avons 𝑎 indice un plus six 𝑟 égal quatre fois 𝑎 indice un plus trois 𝑟. Lorsqu’on distribue quatre, obtient quatre 𝑎 indice un plus 12 𝑟.
Avec cette équation, nous pouvons essayer de regrouper les 𝑎 indice un d’un côté et la variable 𝑟 de l’autre côté. Donc, on soustrait six 𝑟 à chaque membre. Ce qui donne 𝑎 indice un égal quatre 𝑎 indice un plus six 𝑟. À partir de là, nous pouvons soustraire quatre 𝑎 indice un à chaque membre de l’équation, ce qui nous donne moins trois 𝑎 indice un égal six 𝑟. Et puis, nous divisons les deux membres de l’équation par moins trois. Et nous voyons que 𝑎 indice un, le premier terme, est égal à moins deux 𝑟.
Nous allons ensuite remplacer 𝑎 indice un par moins deux 𝑟 dans notre première équation ce qui nous donne deux fois moins deux 𝑟 plus 13𝑟 égal moins 297, soit moins quatre 𝑟 plus 13𝑟 égal moins 297. Encore une fois, lorsque nous regroupons les termes similaires, nous obtenons neuf 𝑟. Pour déterminer 𝑟, nous devons diviser les deux membres de l’équation par neuf. Et cela nous donne 𝑟, la raison de notre suite, égal moins 33.
Rappelez-vous, nous avons dit que nous devions avoir deux informations afin de déterminer les termes de la suite. Nous connaissons maintenant la raison, et nous pouvons l’utiliser pour déterminer le premier terme. Nous savons que le premier terme est égal à moins deux fois la raison. Et cela signifie que le premier terme est égal à moins deux fois moins 33. Notre premier terme est donc ici, 66.
Maintenant que nous avons ces deux informations, nous pouvons lister les termes de la suite. Son premier terme est 66 et le deuxième terme sera la somme du premier terme et de la raison. 66 plus moins 33 égal plus 33. Le troisième terme sera la somme du deuxième terme et de la raison. 33 plus moins 33 est égal à zéro. Et la suite continuerait de cette manière.