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Vidéo de la leçon : Représentation graphique des fonctions du second degré

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement les fonctions du second degré en utilisant une table de valeurs et un intervalle, et à identifier les caractéristiques de la courbe.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à représenter graphiquement les fonctions du second degré données dans leurs formes standard et canonique en utilisant et en étudiant leurs transformations.

On utilise les équations du second degré tous les jours. On les utilise en sciences, affaires et ingénierie. Elles peuvent nous aider à modéliser les trajectoires des objets en mouvement, des balles qui rebondissent aux trajectoires des abeilles. Les entreprises les utilisent pour prédire les revenus et concevoir des emballages pour minimiser le gaspillage. En outre, on peut utiliser des équations du second degré pour identifier les valeurs minimales et maximales de nombreuses variables, y compris la vitesse, le coût et l’aire.

Commençons donc par rappeler ce qu’on entend par une équation du second degré. Une équation du second degré est une équation qui peut être écrite sous la forme 𝑦 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Maintenant, il est important que 𝑎 ne soit pas égal à zéro et que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 soient toutes des constantes réelles. En fait, le mot « quadratique » vient du latin qui veut dire carré. Il s’agit de toutes équations dans lesquelles la plus grande puissance de 𝑥 est deux ; c’est au carré. Alors, comment trace-t-on ces courbes représentatives ? Commençons par rappeler à quoi ressemble la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré. Elle a la forme typique d’une parabole. Elle passe par l’origine. Et c’est en fait l’emplacement de son sommet ou de son point tournant.

On obtient la courbe de 𝑦 égale moins 𝑥 en reflétant cette courbe sur l’axe des 𝑥. Donc c’est une parabole inversée avec son sommet au même point. Mais que se passe-t-il si on applique d’autres transformations ? Par exemple, supposons qu’on veule tracer la courbe de 𝑦 égale 𝑥 plus quatre au carré. En fait, il s’agit d’une translation horizontale. La courbe va se déplacer de quatre unités vers la gauche. Et donc nous voyons que le sommet de cette courbe se trouve à moins quatre, zéro. Alors qu’en est-il de la courbe de 𝑦 égale 𝑥 plus quatre au carré plus deux ? Eh bien, cette fois, il s’agit d’une translation verticale de la courbe de 𝑦 égale 𝑥 plus quatre au carré. La courbe va se déplacer de deux unités vers le haut. Et donc elle aura un sommet à moins quatre, deux.

Alors, comment est-ce utile ? Nous ne voulons pas avoir à appliquer une série de transformations chaque fois qu’il faut tracer une courbe. Eh bien, cela signifie que si on peut réécrire notre équation du second degré sous la forme 𝑎 fois 𝑥 plus 𝑘 le tout au carré plus ℎ, où 𝑘 et ℎ sont des nombres réels, on peut dire que cette courbe a un sommet au point moins 𝑘, ℎ. Ceci, bien sûr, est sous forme canonique. Donc, nous allons combiner cela avec ce que nous savons sur comment tracer des courbes, et nous avons un guide pratique, nous commençons comme précédemment. On vérifie simplement la forme de la parabole. Si 𝑎 est supérieur à zéro - en d’autres termes, si le coefficient de 𝑥 au carré est positif – on a la forme standard de la parabole, où son sommet est un minimum. C’est le point le plus bas de la courbe.

Si, cependant, 𝑎 est inférieur à zéro - en d’autres termes, le coefficient de 𝑥 au carré est négatif – on a une parabole inversée. Et donc le sommet est en fait un point maximum. Ensuite, de même que lorsqu’on représente graphiquement une fonction du premier degré, on détermine l’ordonnée à l’origine qui est la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à zéro. De même, on peut déterminer l’emplacement de toutes les abscisses à l’origine qui sont les valeurs de 𝑥 lorsque 𝑦 est égal à zéro. Bien sûr, avec ces courbes, il est très possible qu’il n’y ait aucune abscisse à l’origine. Dans ce cas, 𝑥 n’aura aucune valeur réelle lorsque 𝑦 est égal à zéro. On peut trouver l’emplacement du sommet en écrivant l’équation sous forme canonique. Donc, 𝑎 fois 𝑥 plus 𝑘 le tout au carré plus ℎ a un sommet de moins 𝑘, ℎ. Et ainsi, avec ces quatre étapes, nous pouvons alors tracer ou même reconnaître des courbes des fonctions du second degré. Voyons cela dans notre premier exemple.

Quel graphique représente la fonction 𝑦 égale moins 0,5𝑥 au carré plus quatre ?

Ici, nous avons une équation du second degré. Nous pouvons identifier sa représentation graphique en suivant quelques étapes. Nous commençons par simplement identifier la forme correcte. Nous savons que si le coefficient de 𝑥 au carré est positif, alors il s’agit de la parabole standard. Mais si le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, il s’agit d’une parabole inversée. Dans ce cas, 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré, est moins 0,5. Et c’est inférieur à zéro. Nous avons donc une parabole inversée. Cela signifie que nous ne pouvons pas choisir (a) ou (b) car ils ont la forme standard de la parabole. Ensuite, on peut trouver l’emplacement de l’ordonnée à l’origine, lorsque 𝑥 est égal à zéro. Lorsqu’on fait cela, on voit que l’équation devient 𝑦 est égal à moins 0,5 fois zéro au carré plus quatre. Ce qui est égal à quatre. Nous savons donc que l’ordonnée à l’origine est à zéro, quatre. Cela signifie que nous pouvons très rapidement ignorer l’option (d) dont l’ordonnée à l’origine est à moins quatre.

Et il ne nous manque plus qu’une seule option, l’option (c). Nous allons vérifier cela en fixant 𝑦 comme égal à zéro pour calculer 𝑥. Et cela nous indiquera l’emplacement de toute abscisse à l’origine. On a zéro est égal à moins 0,5𝑥 au carré plus quatre. Si on ajoute 0,5𝑥 au carré aux deux côtés on a 0,5𝑥 au carré égale quatre. Et puis, lorsqu’on divise par 0,5, on obtient 𝑥 au carré est égal à huit. Nous pouvons alors prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation. Et nous devons nous rappeler de considérer la racine carrée positive et négative de huit. Ainsi, les abscisses à l’origine ou les racines de cette équation sont plus et moins racine de huit.

Ensuite, nous pouvons estimer la valeur de racine de huit en reconnaissant qu’elle se situe entre la racine carrée de quatre et la racine carrée de neuf. Donc, en fait, c’est entre deux et trois. Et puisque huit est plus proche de neuf que de quatre, la solution sera probablement plus proche de trois que de deux. Eh bien, nous pouvons voir que les abscisses à l’origine sur notre graphique sont un peu supérieures à moins trois et un peu inférieures à trois. Et donc le graphique qui représente la fonction donnée est (c).

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment manipuler une équation du second degré pour trouver sa représentation graphique.

Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 égale 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus huit ?

Il s’agit d’une équation du second degré. Il y a donc quelques choses que nous pouvons faire pour identifier sa représentation graphique. Tout d’abord, pour une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, si le coefficient de 𝑥 au carré, 𝑎 est supérieur à zéro, alors on a la forme standard de la parabole. Mais si 𝑎 est inférieur à zéro, alors on a une parabole inversée. Eh bien, dans notre cas, 𝑎 est tout simplement égal à un. On a un 𝑥 au carré. Donc, c’est supérieur à zéro. Cela signifie que ce n’est pas une parabole inversée. Nous pouvons donc ignorer les options (C) et (D). Nous allons les effacer de l’écran pour faire plus d’espace.

Ensuite, nous pouvons trouver l’emplacement de l’ordonnée à l’origine lorsque 𝑥 est égal à zéro. Lorsqu’on fait cela, notre équation devient 𝑦 est égal à zéro au carré moins cinq fois zéro plus huit, ce qui est égal à huit. Nous pouvons voir que (A) et (B) ont des abscisses à l’origine à huit. Alors éliminons l’option (E). Maintenant, notre prochaine étape est de trouver l’emplacement de toute abscisse à l’origine lorsque 𝑦 est égal à zéro. Mais en fait, aucun de ces graphiques n’a d’abscisse à l’origine. Et nous examinerons cela de plus près dans un instant. Donc, nous allons plutôt écrire notre équation sous forme canonique, en d’autres termes, sous la forme 𝑎 𝑥 plus 𝑘 le tout au carré plus ℎ. Si nous pouvons écrire sous cette forme, alors nous savons qu’elle a un sommet de moins 𝑘, ℎ.

Maintenant, le coefficient de 𝑥 au carré est un ici, donc compléter le carré est relativement simple. Nous commençons par diviser le coefficient de 𝑥 par deux, donc la moitié de moins cinq. C’est moins cinq sur deux. Donc, dans les parenthèses, on écrit 𝑥 moins cinq sur deux le tout au carré. On soustrait ensuite le carré de cette valeur. On soustrait donc moins cinq sur deux le tout au carré. Et puis on ajoute huit. C’est la même chose que soustraire 25 sur quatre. Et si on écrit huit comme 32 sur quatre, alors on peut additionner ces deux fractions. Moins 25 sur quatre plus 32 sur quatre est égal à sept sur quatre. Et donc sous forme canonique, notre équation est 𝑥 moins cinq sur deux le tout au carré plus sept sur quatre. Et donc son sommet a des coordonnées cinq sur deux, sept sur quatre.

Puisque les coordonnées 𝑥 et 𝑦 ici sont toutes deux positives, le sommet de notre courbe doit être dans le premier quadrant. Et donc la réponse est (A) et non l’option (B). Et à ce stade, nous pouvons vérifier ce qui se passe avec les abscisses à l’origine. Nous les trouvons en fixant 𝑦 comme égal à zéro. Et une façon de résoudre l’équation est d’utiliser la forme canonique. On soustrait sept sur quatre des deux côtés, puis on remarque que notre prochaine étape est de prendre la racine carrée. Mais bien sûr, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas une valeur réelle. Donc, il n’y a pas de solutions réelles lorsque 𝑦 est égal à zéro, ce qui signifie qu’il n’y a pas d’abscisse à l’origine. Et la réponse est donc l’option (A).

Et si on nous donnait une courbe et qu’on nous demandait de trouver son équation du second degré ? C’est un processus très similaire. Sauf que cette fois nous le faisons à l’envers. Donc, dans notre exemple suivant, voyons à quoi cela ressemblerait.

Écrivez l’équation du second degré représentée par le graphique ci-dessous. Donnez votre réponse sous forme factorisée.

Commençons par examiner la représentation graphique qui nous a été donnée. Nous pouvons d’abord constater que le sommet ou le point tournant de cette courbe a les coordonnées un, moins neuf. Cela nous donne une idée de ce à quoi pourrait ressembler l’équation de forme canonique de cette courbe. Une équation de la forme 𝑎 𝑥 plus 𝑘 au carré plus ℎ a un sommet moins 𝑘, ℎ. On définit donc moins 𝑘 comme égal à un et ℎ comme égal à neuf Et nous voyons que l’équation de notre courbe est 𝑦 égale une constante 𝑎 fois 𝑥 moins un le tout au carré moins neuf.

Alors, comment pouvons-nous déterminer la valeur de 𝑎 ? Eh bien, en fait, nous pouvons choisir la coordonnée d’un point situé sur cette courbe et la substituer. On peut par exemple considérer la coordonnée quatre, zéro. La coordonnée 𝑥 est quatre, et la coordonnée 𝑦 est zéro. Et donc notre équation devient zéro égale 𝑎 fois quatre moins un au carré moins neuf. Eh bien, quatre moins un au carré égale trois au carré, soit neuf. Donc, notre équation devient zéro égale neuf 𝑎 moins neuf. On ajoute neuf aux deux côtés de cette équation. Et enfin, on divise par neuf. Et lorsqu’on fait cela, on constate que 𝑎 est égal à un. Lorsqu’on substitue cela dans l’équation 𝑎 fois 𝑥 moins un le tout au carré moins neuf, on constate que l’équation du second degré est 𝑦 est égal à 𝑥 moins un au carré moins neuf.

Maintenant, en fait, on nous dit d’exprimer cela sous forme factorisée. Alors, que faire ensuite ? Eh bien, nous allons simplement développer les parenthèses, simplifier, puis factoriser. 𝑥 moins un le tout au carré est égal à 𝑥 moins un fois 𝑥 moins un. Lorsqu’on développe les parenthèses, on obtient 𝑥 au carré moins 𝑥 moins 𝑥 plus un. Et donc, notre équation devient 𝑦 égale 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins huit. Pour factoriser cela, on cherche une paire de nombres dont le produit est moins huit et la somme est moins deux. Ces nombres sont moins quatre et deux. Et donc, sous forme factorisée, l’équation du second degré représentée par le graphique illustré est 𝑦 égale 𝑥 moins quatre fois 𝑥 plus deux.

Récapitulons les concepts clés de cette vidéo. On peut tracer la courbe de l’équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 en considérant d’abord le coefficient de 𝑥 au carré. Si c’est positif, la courbe est une parabole. Et si c’est négatif, c’est une parabole inversée. En d’autres termes, si c’est positif, alors le sommet est son minimum. Et si c’est négatif, alors son sommet est son maximum. On peut fixer 𝑥 à zéro pour obtenir la valeur de l’ordonnée à l’origine. Et on peut fixer 𝑦 à zéro pour obtenir les valeurs des abscisses à l’origine si elles existent. Et si on peut écrire l’équation sous forme canonique – c’est-à-dire, 𝑎 fois 𝑥 plus 𝑘 le tout au carré plus ℎ - le sommet a des coordonnées moins 𝑘, ℎ.

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