Transcription de la vidéo
L'angle de mesure thêta est représenté sur le cercle trigonométrique par le point de coordonnées deux 𝑎, trois 𝑎, où thêta est compris entre 0 et pi sur deux. Déterminez la valeur exacte de 𝑎.
D'abord, repérons l'information clé de cette question. On nous indique que l'angle thêta est en position standard. Qu'est-ce que cela signifie ? La position standard fait référence à la position d'un angle dans un système de coordonnées orthogonales. Un angle est en position standard si son sommet est à l'origine et que son côté initial se trouve sur la partie positive de l'axe des 𝑥. On doit considérer où se trouve le côté terminal de cet angle.
La question nous indique que thêta est compris entre zéro et pi sur deux radians, ce qui signifie que le côté terminal de cet angle doit être dans le premier quadrant. Nous avons également d'autres informations sur le côté terminal de cet angle, à savoir qu'il coupe le cercle trigonométrique au point deux 𝑎, trois 𝑎.
Le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est à l'origine et dont le rayon vaut une unité. Il a pour équation : 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale un. Comme le côté terminal de l'angle thêta coupe le cercle trigonométrique au point de coordonnées deux 𝑎, trois 𝑎, alors ce point est sur le cercle, ce qui signifie que ses coordonnées satisfont son équation.
Si on remplace 𝑥 par deux 𝑎 et 𝑦 par trois 𝑎 dans l'équation du cercle unitaire, on a que deux 𝑎 au carré plus trois 𝑎 au carré égale un. On obtient ainsi une équation que l'on peut résoudre pour déterminer la valeur de 𝑎. En élevant au carré chacun des termes, on obtient quatre 𝑎 au carré plus neuf 𝑎 au carré égale un.
Il faut faire attention à une erreur courante ici, qui consiste à oublier d'élever au carré le deux et le trois et à penser que l'équation devrait être deux 𝑎 au carré plus trois 𝑎 au carré égale un. Cette équation est incorrecte et conduit à une valeur incorrecte de 𝑎.
En revenant à l'équation correcte et en simplifiant le membre de gauche, on obtient que 13𝑎 au carré égale un. En divisant les deux côtés de l'équation par 13, on obtient 𝑎 au carré égale un sur 13. On doit ensuite prendre la racine carrée des deux membres de l'équation. Cela donne 𝑎 égale plus ou moins racine carrée de un sur 13.
Si nous prenons la racine carrée d'une fraction, alors elle est égale à la racine carrée du numérateur sur la racine carrée du dénominateur. La racine carrée de un est juste un. Donc 𝑎 est égale à plus ou moins un sur racine carrée de 13.
Cela suggère qu'il y a deux valeurs possibles pour 𝑎 : un sur racine 13 et moins un sur racine 13. Vérifions si ces deux valeurs sont correctes. Rappelez-vous que thêta est compris entre zéro et pi sur deux, ce qui signifie qu'il est situé dans le premier quadrant. Cela signifie que ses deux coordonnées sont des valeurs positives. Puisque deux 𝑎 et trois 𝑎 doivent donc être tous les deux supérieurs à zéro, cela veut dire que nous devons prendre uniquement la valeur positive de 𝑎. La valeur de 𝑎 est égale à un sur racine carrée de 13.