Vidéo de la leçon: Probabilité d’événements simples Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la probabilité d’évènements simples. Commençons d’abord par réfléchir en quoi consiste la probabilité. La probabilité est l’éventualité ou la possibilité qu’un événement se produise. Nous pourrions même apercevoir cela comme étant l’éventualité d’un résultat. Lorsque nous avons commencé à apprendre la probabilité, et même dans la vie quotidienne, nous utilisons des mots pour décrire la probabilité que quelque chose se produise. Par exemple, nous pourrions dire qu’il est impossible qu’un événement se produise. Ou si cela va sûrement se produit définitivement, alors nous pourrions dire que cela arrivera certainement. Nous pouvons également utiliser des mots comme improbable et probable.

Lorsque nous discutons de la probabilité en mathématiques, il est bon d’associer des valeurs numériques à la probabilité. Un événement impossible a une probabilité de zéro, et un événement qui est certain a une probabilité de un. Nous pouvons décrire les probabilités comme des nombres décimaux ou des fractions.

Dans cette vidéo, nous nous concentrons sur la probabilité d’évènements simples. C’est un événement avec un seul résultat. Disons, par exemple, que nous allons lancer une pièce de monnaie. Un côté de la pièce est Pile et l’autre côté est Face. Si nous voulions déterminer la probabilité d’obtenir Pile, nous pourrions l’écrire comme ceci : P majuscule, puis Pile entre parenthèses. Pour calculer la valeur numérique, on pourrait dire qu’un résultat sur deux est Pile. Nous pourrions donc l’écrire comme cela : la fraction un demi. Alternativement, si on lance un dé qui est numéroté de un à six, alors si nous voulions déterminer la probabilité d’obtenir trois, nous savons qu’un des six nombres possibles sera trois. Et donc la probabilité d’obtenir un trois serait un sixième.

En général, on peut dire que pour un événement simple, la probabilité de cet événement est égale au nombre d’issues possibles sur le nombre total d’issues. Rappelez-vous que lorsque nous regardions la pièce, la probabilité d’obtenir Pile est le seul résultat qui est obtenu à partir des deux au total, c’est-à-dire Pile ou Face. Nous allons maintenant examiner quelques questions et voir comment nous pouvons appliquer cette formule.

Une classe a 18 garçons et neuf filles. Quelle est la probabilité qu’un élève sélectionné au hasard soit une fille ?

Dans cette question, on nous dit qu’il y a une classe composée de 18 garçons et neuf filles. On doit déterminer la probabilité que si nous choisissions l’un de ces élèves, nous obtiendrons une fille. Une idée fausse très courante est de penser que si nous choisissons l’un de ces élèves, nous aurons soit un garçon, soit une fille. On pourrait donc penser que la probabilité est de 50/50 ou un demi. Cependant ; c’est incorrect. Après tout, si on y pense, il y a plus de garçons que de filles. Par conséquent, nous sommes plus susceptibles de choisir un garçon qu’une fille.

Lorsque nous avons un événement comme celui-ci, où nous choisissons quelque chose et qu’il n’y a qu’un résultat, dans ce cas, garçon ou fille, nous pouvons alors appliquer la règle selon laquelle la probabilité de cet événement est égale au nombre d’issues possibles sur le nombre total d’issues. Donc, dans cette question, comme nous voulons trouver la probabilité de choisir une fille, le nombre d’issues possibles dans ce cas serait le nombre de filles. Le nombre total d’issues serait le nombre total d’élèves.

Une fois que nous avons écrit l’équation selon le contexte de la question abordée, il suffit de remplir toutes les valeurs qui nous ont été données. On nous dit qu’il y a neuf filles. Mais attention car le nombre total d’élèves n’est pas 18 car c’est le nombre de garçons. Pour trouver le nombre total d’élèves, nous additionnons les garçons et les filles, ce qui nous donne 27. Bien sûr, il est toujours bon de simplifier une fraction lorsque nous le pouvons. Et neuf sur 27 se simplifie à un tiers. Nous avons donc constaté que la probabilité de choisir une fille est d’un tiers.

Regardons une autre question.

Quelle est la probabilité que le pointeur tombe sur un nombre pair lorsque la roue donnée est tournée ?

Lorsque nous avons une question comme celle-ci, nous pouvons supposer que la roue est équitable. Et par là, nous voulons dire qu’elle n’est pas biaisée ou pondérée, par exemple, de sorte que le pointeur s’arrêtera plus fréquemment sur une section que sur une autre. Nous pouvons voir que toutes les sections sont de la même taille. En particulier, l’angle formé au centre de cette roue dans chaque secteur sera le même.

Comme il n’y aura qu’une seule issue à chaque fois que la roue est tournée, nous pouvons utiliser une formule clé de probabilité. La probabilité d’un événement est égale au nombre d’issues possibles sur le nombre total d’issues. Alors, quel événement nous intéresse ici ? Eh bien, c’est la probabilité que le pointeur tombe sur un nombre pair. Et nous pouvons écrire ceci comme P et nombre pair entre parenthèses. Ensuite, le nombre d’issues possibles est le nombre de valeurs paires sur la roue. Et le nombre total d’issues est le nombre total de valeurs sur la roue.

Alors, passons aux valeurs paires et impaires de la roue. Eh bien, seulement 12 et 14 sont pairs, soit deux valeurs paires. Puis, il y a huit valeurs différentes sur la roue. Notez que nous avons également inclus les nombres pairs, car ils font toujours partie du nombre total de valeurs. Deux sur huit se simplifie et devient un quart. Donc, la réponse est que la probabilité que le pointeur de cette roue tombe sur un nombre pair est égale à un quart.

Prenons une autre question.

Un jeu de cartes contient des cartes numérotées de un à 81. Si une carte est choisie au hasard, quelle est la probabilité d’obtenir une carte divisible par cinq ?

Alors examinons ce jeu de cartes. Les cartes sont numérotées de un à 81. Comme nous considérons la probabilité de choisir une carte ou un type de carte particulier, nous pouvons utiliser cette équation. La probabilité d’un événement est égale au nombre d’issues possibles sur le nombre total d’issues. Donc, dans cette question, la probabilité de choisir une carte qui est divisible par cinq est égale au nombre de valeurs de cartes qui sont divisibles par cinq sur le nombre total de cartes.

Rappelons-nous ce que cela signifierait pour une valeur d’être divisible par cinq. Toute valeur divisible par cinq signifie que nous pouvons diviser cette valeur par cinq et obtenir un nombre entier comme résultat. Une autre façon d’y penser serait les valeurs figurant dans la table de multiplication du cinq. Nous pouvons énumérer ici toutes les valeurs qui sont divisibles par cinq. La première serait cinq. La deuxième serait 10. Et nous pouvons continuer jusqu’à 80. Nous ne pouvons pas aller plus loin parce que les cartes ne vont que jusqu’à 81. Lorsque nous comptons ces valeurs, on trouve qu’il y en a 16. Cela signifie que le nombre de valeurs de cartes qui sont divisibles par cinq est 16, et le nombre total de cartes doit être 81. Nous ne pouvons pas simplifier davantage cette fraction. La probabilité de choisir une carte divisible par cinq est donc 16 sur 81.

Dans la question suivante, nous verrons comment utiliser la même formule, mais cette fois nous n’abordons pas la probabilité, nous déterminons plutôt le nombre d’issues d’un événement spécifique.

Il y a 28 personnes dans une réunion. La probabilité qu’une personne choisie au hasard soit un homme est égale à un demi. Calculez le nombre de femmes dans la réunion.

Ici, on nous dit qu’il y a 28 personnes présentes à une réunion. Si nous choisissons une personne au hasard, alors la probabilité de choisir un homme est égale à un demi. Nous pouvons utiliser ces deux informations pour nous aider à déterminer le nombre de femmes qui doivent être présentes à la réunion. Nous pouvons utiliser l’équation selon laquelle la probabilité d’un événement est égale au nombre d’issues possibles sur le nombre total d’issues. L’une des façons dont nous pouvons aborder cette question est parce que nous connaissons la probabilité de choisir un homme, nous pouvons déterminer le nombre d’hommes dans la réunion. La probabilité de choisir un homme est égale au nombre d’hommes sur le nombre total de personnes.

On nous indique que la probabilité de choisir un homme est égale à un demi. Le nombre d’hommes est ce que nous voulons déterminer, et le nombre total de personnes correspond au nombre de personnes présentes dans la réunion. Cela fait 28. Afin de simplifier cela, nous pouvons multiplier les deux membres par 28. Et comme un demi multiplié par 28 est 14, nous savons maintenant que le nombre d’hommes est 14. Donc, s’il y a 28 personnes au total dans la salle, hommes ou femmes, et 14 de ses personnes sont des hommes, alors on soustrait cela à 14. Nous pouvons donc indiquer dans la réponse qu’il doit y avoir 14 femmes à la réunion.

Dans la dernière question, nous verrons comment utiliser la formule avec les informations fournies pour calculer le nombre total d’issues.

Un sac contient 24 boules blanches et un nombre inconnu de boules rouges. La probabilité de choisir au hasard une boulle rouge est de sept sur 31. Combien de boules y a-t-il dans le sac ?

Alors disons que nous avons ce sac qui contient 24 boules blanches. Il a également un nombre inconnu de boules rouges. Donc, il pourrait y avoir un ou deux ou trois, voire plus de 24. Nous ne savons pas. Ce qu’on nous dit, cependant, c’est que la probabilité de choisir une boule rouge est de sept sur 31. Nous pouvons répondre à cette question de deux manières différentes, soit en trouvant d’abord le nombre de boules blanches, soit en déterminant d’abord le nombre de boules rouges.

Afin de trouver d’abord le nombre de boules blanches, nous devons nous rappeler que dans toute situation, les probabilités ont une somme de un. Comme nous n’avons que des boules blanches et des boules rouges dans le sac, alors nous pouvons dire que la probabilité d’obtenir une boule blanche plus la probabilité d’obtenir une boule rouge doit être égale à un. Nous pouvons réorganiser cela pour nous donner que la probabilité d’obtenir une boule blanche est égale à un moins la probabilité d’obtenir une boule rouge. Comme on nous dit que la probabilité d’obtenir une boule rouge est de sept sur 31, alors nous devons calculer un moins sept sur 31. Étant donné que un peut être écrit comme 31 sur 31, nous représentons cela par 24 sur 31. Alors maintenant, nous savons que la probabilité de choisir une boule blanche est de 24 sur 31.

Comme c’est un événement simple, c’est-à-dire un événement avec un seul résultat, alors nous pouvons utiliser le fait que la probabilité d’un événement est égale au nombre d’issues possibles sur le nombre total d’issues. Nous pouvons utiliser les informations que nous avons sur les boules blanches. On peut dire que la probabilité de choisir une boule blanche est égale au nombre de boules blanches sur le nombre total de boules. Donc, en remplissant les informations, la probabilité d’une boule blanche est de 24 sur 31. Et on nous a dit dans la question qu’il y avait 24 boules blanches. Et nous devons calculer le nombre total de boules. Alors maintenant, nous avons cette équation avec deux fractions qui sont équivalentes. Cependant, comme les numérateurs sont égaux, ils valent tous les deux 24, alors les dénominateurs doivent également être égaux, ce qui signifie que le nombre total de boules dans le sac doit être 31.

Avant de terminer cette question, examinons la méthode alternative pour trouver le nombre de boules rouges. Nous pouvons garder la même équation de probabilité, mais cette fois nous allons remplir les informations portant sur les boules rouges. On nous a dit que la probabilité d’une boule rouge est de sept sur 31. Nous ne connaissons pas le nombre de boules rouges, mais nous pouvons utiliser un peu d’algèbre. Et posons le nombre de boules rouges avec la variable 𝑥. Le nombre total de boules sera alors le nombre de boules rouges, c’est 𝑥, plus le nombre de boules blanches, à savoir 24.

Nous pourrions alors résoudre ce problème en commençant par le produit en croix. Donc, nous aurions sept multiplié par 𝑥 plus 24 est égal à 31𝑥. La distribution des sept entre parenthèses nous donnerait sept fois 𝑥, et sept fois 24 est 168. En soustrayant sept 𝑥 des deux membres, nous aurions 168 égal à 24𝑥. Puis en divisant les deux membres par 24, nous aurions sept égal à 𝑥. Puisque nous avons défini 𝑥 comme le nombre de boules rouges, nous avons calculé le nombre de boules rouges dans ce sac et il est égal à sept. On ne voulait pas seulement trouver le nombre de boules rouges ; on voulait aussi trouver le total. Il y a 24 boules blanches et sept boules rouges. Donc, cela nous donnerait 31 au total, ce qui confirme la réponse initiale.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par rappeler que la probabilité d’un événement est la probabilité qu’il se produise. Toutes les questions que nous avons examinées étaient de simples événements. Ces événements sont ceux qui ont un seul résultat, par exemple, lancer un dé ou sélectionner une balle dans un sac. Si, par exemple, nous avions choisi deux balles dans un sac, alors cela n’aurait pas été un événement simple. Enfin, nous avons vu et appliqué la formule selon laquelle, pour un événement simple, la probabilité de cet événement est égale au nombre d’issues possibles sur le nombre total d’issues.