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Vidéo question :: Analyse du mouvement d’un ascenseur à l’aide d’un ensemble de balances Mathématiques • Troisième année secondaire

Un homme se tenait sur une balance dans un ascenseur, enregistrant les lectures à mesure que l'ascenseur se déplaçait. Sa première lecture a eu lieu lorsque l'ascenseur accélérait vers le haut avec une accélération 7𝑎. Il a fait une autre lecture quand l'ascenseur accélérait vers le bas avec une accélération 8𝑎. Sachant que le rapport entre les deux lecteurs était de 4 : 1, déterminez 𝑎 : 𝑔, où 𝑔 est l'accélération due à la gravité.

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Transcription de la vidéo

Un homme se tenait sur une balance dans un ascenseur, enregistrant les lectures à mesure que l'ascenseur se déplaçait. Sa première lecture a eu lieu lorsque l'ascenseur accélérait vers le haut avec une accélération sept 𝑎. . Il a fait une autre lecture quand l'ascenseur accélérait vers le bas avec une accélération huit 𝑎. Sachant que le rapport entre les deux lecteurs était de 4 : 1, déterminez 𝑎 : 𝑔, où 𝑔 est l'accélération due à la gravité.

Afin de répondre à cette question, nous allons formaliser nos pensées en traçant un diagramme en corps libre de notre scénario. Le premier scénario est lorsque l’ascenseur accélère vers le haut ; elle accélère à un rythme de sept 𝑎 unités de longueur per par unité de temps carrée. Donc, nous allons considérer dans ce cas le sens vers le haut comme étant positif. Il a ensuite fait une autre lecture lorsque l’ascenseur accélérait vers le bas, cette fois à un taux de huit 𝑎 unités de longueur per par unité de temps carré.

Et il y a deux façons de modéliser cela. Dans le deuxième scénario, nous pourrions prendre le sens vers le bas pour qu’il soit positif. Ou pour des raisons de cohérence, nous pourrions prendre le sens vers le haut pour qu’il soit positif et dire que l’accélération est moins huit 𝑎. Et nous savons que l’homme, lui-même exerce une force vers le bas sur ces balances. Cette force est son poids, et elle est égale à sa masse multipliée par l’accélération de de la pesanteur. Appelons cela 𝑚𝑔. Il y a une force de réaction agissant dans le sens opposé à la force du poids agissant vers le bas. Cette force de réaction est ce qui nous donne la lecture sur cet ensemble de balances. Donc, définissons la première force de réaction et donc la première lecture comme étant 𝑅 un et la deuxième force de réaction comme 𝑅 deux.

Ensuite, nous allons modéliser les deux scénarios en utilisant la troisième loi de Newton. La forme vectorielle de ceci indique que la somme nette des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération vectorielle. Puisque nous ne travaillons que dans une seule direction ici, nous pouvons simplifier cela en la force scalaire équivalente à la masse fois l’accélération. Pour le premier scénario où l’ascenseur accélère vers le haut, la force nette est trouvée en ajoutant 𝑅 un et moins 𝑚𝑔. Nous considérons 𝑚𝑔, la force du poids, comme négative car elle agit vers le bas, qui est la direction négative. Ainsi, la somme résultante des forces est 𝑅 un moins 𝑚𝑔. Et cela est égal à la masse de l’homme fois l’accélération, donc 𝑚 fois sept 𝑎. Simplifions cela à sept 𝑚𝑎.

Nous répétons ce processus pour le deuxième scénario lorsque l’ascenseur accélère vers le bas. Maintenant, puisque nous avons toujours défini la direction vers le haut comme étant positive, la force nette est 𝑅 deux moins 𝑚𝑔. Mais cette fois, la masse fois l’accélération est 𝑚 fois moins huit 𝑎. Et c’est moins huit 𝑚𝑎.

Ensuite, la question veut que nous déterminions le rapport entre 𝑎 et 𝑔. Donc, en fait, nous devons commencer par trouver une expression pour 𝑎. Il nous indique également que le rapport entre les deux lectures est de quatre pour un. En d’autres termes, 𝑅 un pour 𝑅 deux est égal à quatre pour un. Alors, comment savons-nous que c’est le rapport est 𝑅 un par rapport à 𝑅 deux et non le contraire ? Eh bien, nous pourrions le déterminer directement à partir de l’ordre dans lequel les lectures sont mentionnées. La première lecture est mentionnée en premier, donc cela devrait représenter la valeur quatre.

Alternativement, cependant, nous pouvons utiliser un peu de logique pour comprendre pourquoi 𝑅 un pourrait être supérieur à 𝑅 deux. Imaginez que nous nous trouvions dans un ascenseur. Lorsque l’ascenseur accélère vers le haut, nous ressentons une force vers le bas. Si nous nous trouvions sur une balance et que nous regardions directement les balances, nous pourrions remarquer que lorsque l’ascenseur accélère, la valeur de ces balances augmente. De même, si l’ascenseur commençait à décélérer, la valeur sur les échelles diminuerait. On peut donc en déduire que la première lecture est supérieure à la seconde. Donc, nous avons 𝑅 un pour 𝑅 deux égal à quatre pour un. Si nous divisons chaque valeur à gauche de notre rapport par chaque valeur à droite, nous obtenons 𝑅 un divisé par 𝑅 deux égal quatre sur un, ou simplement 𝑅 un divisé par 𝑅 deux égale quatre.

Ensuite, en multipliant par 𝑅 deux nous obtenons une équation 𝑅 un égal quatre 𝑅 deux. Nous allons remplacer cela directement dans l’équation un. Ensuite, nous aurons deux équations en 𝑅 deux. Ainsi, l’équation un devient quatre 𝑅 deux moins 𝑚𝑔 égale sept 𝑚𝑎. Nous allons trouver un moyen d’éliminer 𝑅 deux. Et pour ce faire, nous allons multiplier cette deuxième équation par quatre. Lorsque nous le faisons, nous obtenons quatre 𝑅 deux moins quatre 𝑚𝑔 égale moins 32𝑚𝑎. Appelons cette équation trois. Et puis, nous voyons que nous pouvons éliminer quatre 𝑅 deux des deux équations en soustrayant l’une de l’autre.

Nous avons dégagé de l’espace, et nous allons soustraire l’équation trois de l’équation un. Lorsque nous le faisons, les quatre R deux disparaissent. Nous avons alors moins 𝑚𝑔 moins moins quatre 𝑚𝑔 au côté gauche et à droite sept 𝑚𝑎 moins moins 32𝑚𝑎. Cela se simplifie pour donner que trois 𝑚𝑔 est égal à 39𝑚𝑎. Et nous remarquons maintenant qu’il existe un facteur constant 𝑚 que nous pouvons diviser par. Et nous sommes autorisés à le faire puisque 𝑚 est la masse de l’homme ; il ne peut pas être égal à zéro. De même, nous pouvons diviser par trois. Donc, nous avons l’équation 𝑔 égale 13𝑎.

Rappelez-vous, nous essayions de déterminer le rapport de 𝑎 à 𝑔. Nous avons certainement une relation entre 𝑎 et 𝑔, mais ce n’est pas encore sous forme d’une fraction. Ce que nous pourrions faire, c’est diviser les deux côtés de cette équation par 𝑎. Donc, 𝑔 sur 𝑎 est égal à 13. À ce stade, nous cherchons à inverser le processus que nous avons appliqué lorsque nous examinions le rapport des deux lectures. Nous pouvons alors écrire 13 comme 13 sur un. Ensuite, en inversant ce que nous avons fait au début, nous pouvons dire que le rapport de 𝑎 à 𝑔 doit être égal au rapport de un à 13. Et donc, nous avons déterminé le rapport 𝑎 à 𝑔, où 𝑔 est l’accélération due à la pesanteur ; il est égal à un à 13.

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