Transcription de la vidéo
Sur la figure, les points 𝑀 cosinus 𝜃, sinus 𝜃 et 𝑁 appartiennent au même cercle trigonométrique, et l’angle 𝐴𝑂𝑁 est égal à deux 𝜋 moins 𝜃. Exprimez les valeurs de sinus, cosinus et tangente de deux 𝜋 moins 𝜃 en fonction de leurs valeurs pour 𝜃. Vérifiez si cela est vrai pour toutes les valeurs de 𝜃.
On nous dit dans la question que le point 𝑀 a pour coordonnées cos 𝜃, sin 𝜃. Et sur la figure, nous voyons que l’angle 𝐴𝑂𝑀 est égal à 𝜃. Nous savons que cela est vrai pour tout point appartenant au cercle trigonométrique, où 𝜃 est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs. Puisque l’angle rentrant 𝐴𝑂𝑁 est égal à deux 𝜋 moins 𝜃, le point 𝑁 a pour coordonnées cosinus deux 𝜋 moins 𝜃, sinus deux 𝜋 moins 𝜃. En utilisant le fait qu’il y a deux 𝜋 radians dans un cercle complet et que nous mesurons les angles négatifs dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs, les coordonnées du point 𝑁 peuvent également être écrites comme cosinus moins 𝜃, sinus moins 𝜃.
De la symétrie du cercle trigonométrique, les points 𝑀 et 𝑁 auront tous deux le même abscisse 𝑥. Cela signifie que cosinus de moins 𝜃 est égal à cosinus de 𝜃. C’est en fait un résultat standard que nous pouvons utiliser en avançant dans la solution. Puisque la fonction cosinus est paire, le cosinus de moins 𝜃 est égal à cosinus 𝜃. Et puisque le cosinus de deux 𝜋 moins 𝜃 est égal à cosinus de moins 𝜃, il doit aussi être égal à cosinus 𝜃.
L’abscisse 𝑥 du point 𝑁 sur le cercle trigonométrique peut également être écrit comme cosinus 𝜃. Lorsque nous traitons les ordonnées 𝑦 des points 𝑀 et 𝑁, nous voyons que 𝑀 est la même distance au-dessus de l’axe des 𝑥 que le point 𝑁 est au-dessous de l’axe des 𝑥. Cela signifie que le sinus de moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. De la même manière que le résultat pour le cosinus de moins 𝜃, ce résultat est valable pour toutes les valeurs de 𝜃 puisque le sinus est une fonction impaire. Le sinus de moins 𝜃 est toujours égal à moins sinus 𝜃. Cela signifie que puisque sinus de deux 𝜋 moins 𝜃 est égal à sinus de moins 𝜃, il est aussi égal à moins sinus 𝜃. L’ordonnée 𝑦 du point 𝑁 peut être écrite comme moins sinus 𝜃.
Nous avons maintenant exprimé les valeurs du sinus et cosinus de deux 𝜋 moins 𝜃 en fonction de leurs valeurs pour 𝜃. Le sinus de deux 𝜋 moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃 et le cosinus de deux 𝜋 moins 𝜃 est égal à cosinus 𝜃. Nous pouvons maintenant trouver une expression pour la tangente de deux 𝜋 moins 𝜃 en utilisant l’une de nos identités trigonométriques. Nous savons que la tangente de tout angle 𝛼 est égale à sinus 𝛼 divisé par cosinus 𝛼. Si nous divisons la première équation par la seconde, nous avons le sinus de deux 𝜋 moins 𝜃 sur le cosinus de deux 𝜋 moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. En utilisant l’identité ci-dessous, le membre gauche se simplifie en la tangente de deux 𝜋 moins 𝜃 et le membre droit en moins tangente 𝜃.
Nous avons maintenant les trois expressions requises, les valeurs de sinus, cosinus et tangente de deux 𝜋 moins 𝜃 en fonction de leurs valeurs pour 𝜃. On nous demande également de vérifier si cela est vrai pour toutes les valeurs de 𝜃. Si nous supposons que le point 𝑃 se situe dans le premier quadrant, comme le montre la figure, où l’angle 𝐴𝑂𝑃 est égal à une autre valeur de 𝜃, alors le point 𝑄, où l’angle 𝐴𝑂𝑄 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est égal à deux 𝜋 moins 𝜃, sera situé dans le quatrième quadrant comme indiqué.
Encore une fois, ces points auront le même abscisse 𝑥, alors que les ordonnées 𝑦 seront l’opposé l’un de l’autre. Si le point 𝑃 a les coordonnées 𝑥, 𝑦, alors le point 𝑄 aura les coordonnées 𝑥, moins 𝑦. Et nous pouvons donc conclure que les expressions pour sinus, cosinus et tangente de deux 𝜋 moins 𝜃 en fonction de leurs valeurs de 𝜃 sont vraies pour toutes les valeurs de 𝜃 dans le cercle trigonométrique. Le sinus de deux 𝜋 moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. Le cosinus de deux 𝜋 moins 𝜃 est égal à cosinus 𝜃. Et la tangente de deux 𝜋 moins 𝜃 est égale à moins tangente 𝜃. Notez que dans ces trois cas, deux 𝜋 radians peuvent être remplacés par 360 degrés.