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Vidéo question :: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète Mathématiques • Troisième année secondaire

La fonction dans le tableau donné est une fonction de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Calculez la variance de 𝑋. Si nécessaire, donnez votre réponse au centième près.

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La fonction dans le tableau donné est une fonction de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Calculez la variance de 𝑋. Si nécessaire, donnez votre réponse au centième près.

Dans le tableau, nous voyons que 𝑋 peut avoir quatre valeurs : trois, cinq, sept et huit. La probabilité que notre variable aléatoire prenne chacune de ces valeurs est de deux 𝐴, cinq 𝐴 au carré, cinq 𝐴 au carré et 𝐴, respectivement. Nous savons que la somme de ces probabilités doit être égale à un. Et chacune des probabilités doit être supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à un. Cela signifie que deux 𝐴 plus cinq 𝐴 au carré plus cinq 𝐴 au carré plus 𝐴 est égal à un. Lorsqu’on collecte les termes similaires, on obtient 10𝐴 au carré plus trois 𝐴 égale un. Nous pouvons ensuite soustraire un des deux côtés de notre équation afin d’obtenir une équation du second degré égale à zéro. Qui est 10𝐴 au carré plus trois 𝐴 moins un égale zéro.

Cette expression quadratique peut être factorisée en deux ensembles de parenthèses, cinq 𝐴 moins un et deux 𝐴 plus un. Puisque le produit est égal à zéro, on a cinq 𝐴 moins un égale zéro ou deux 𝐴 plus un égale zéro. Lorsqu’on résout la première équation, on obtient 𝐴 égale un cinquième. Et lorsqu’on résout la seconde équation, on a 𝐴 égale moins un demi. Sachant que toutes les valeurs des probabilités doivent être supérieures ou égales à zéro et inférieures ou égales à un, 𝐴 ne peut pas être égal à moins un demi. Nous pouvons maintenant substituer 𝐴 égale un cinquième dans la ligne inférieure de notre tableau. Deux 𝐴 est égal à deux cinquièmes, et cinq 𝐴 au carré est égal à un cinquième. Par conséquent, la probabilité que 𝑋 soit égal à trois est de deux cinquièmes, et les probabilités que 𝑋 soit égal à cinq, sept ou huit sont toutes de un cinquième.

À ce stade, il convient de vérifier une fois de plus que la somme de nos valeurs est égale à un. Deux cinquièmes plus un cinquième plus un cinquième plus un cinquième est égal à cinq cinquièmes, ce qui est équivalent à un. Nous pouvons maintenant calculer la variance de 𝑋 en utilisant la formule suivante : la variance de 𝑋 est égale à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré, où 𝐸 de 𝑋 est l’espérance ou la moyenne. Cette formule est aussi parfois appelée la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. Nous pouvons calculer la moyenne en additionnant les produits des 𝑥 indice 𝑖 par 𝑓 de 𝑥 indice 𝑖. On a 𝐸 de 𝑋 est égal à trois multiplié par deux cinquièmes plus cinq multiplié par un cinquième plus sept multiplié par un cinquième plus huit multiplié par un cinquième. Ce qui est égal à 26 sur cinq ou vingt-six cinquièmes. La moyenne 𝐸 de 𝑋 de la variable aléatoire discrète 𝑋 est de vingt-six cinquièmes.

Nous pouvons calculer 𝐸 de 𝑋 au carré de la même manière. En effet, si nous considérons une variable aléatoire différente 𝑌, qui prend des valeurs qui sont le carré de notre variable aléatoire 𝑋, alors la probabilité de chaque valeur de notre nouvelle variable sera la même que la probabilité de chaque valeur 𝑋 de la variable initiale. Ainsi 𝐸 de 𝑋 au carré est égal à trois au carré multiplié par deux cinquièmes plus cinq au carré multiplié par un cinquième plus sept au carré multiplié par un cinquième plus huit au carré multiplié par un cinquième. Cela est égal à 156 sur cinq ou cent cinquante-six cinquièmes.

Nous avons maintenant des valeurs pour la moyenne et la moyenne des carrés. La variance de 𝑋 est donc égale à 156 sur cinq moins 26 sur cinq au carré. Ce qui est égal à 104 sur 25, qui sous forme décimale est 4,16. Puisque notre réponse est déjà au centième près, nous n’avons pas besoin d’arrondir. La variance de la variable aléatoire discrète 𝑋 est de 4,16.

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