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Etant donnés 𝐴 de coordonnées moins 15, moins sept, 𝐵 de coordonnées sept, deux, 𝐶 de coordonnées quatre, moins 17 et 𝐷 de coordonnées 13, moins deux, respectivement, 𝐸 le milieu du segment 𝐴𝐵 et 𝑀 divisant 𝐶𝐷 extérieurement selon le rapport sept à quatre, déterminez la longueur du segment 𝐸𝑀 au centième près avec comme longueur unité égale un centimètre.
Pour trouver la longueur du segment 𝐸𝑀, nous devons d’abord déterminer les coordonnées des points 𝐸 et 𝑀. Considérons tout d’abord le point 𝐸. On nous dit que le point 𝐸 est le milieu du segment 𝐴𝐵. Nous pouvons rappeler que le milieu du segment reliant les points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. En d’autres termes, la coordonnée 𝑥 du point médian est la moyenne des coordonnées 𝑥 des deux extrémités du segment de droite. La coordonnée 𝑦 du point médian est la moyenne des coordonnées 𝑦 des deux extrémités.
Ainsi, sachant que 𝐴 a pour coordonnées moins 15, moins sept et que 𝐵 a pour coordonnées sept, deux, la coordonnée 𝑥 du point 𝐸 est moins 15 plus sept sur deux. La coordonnée 𝑦 du point 𝐸 est moins sept plus deux sur deux. Cela se simplifie en moins huit sur deux, moins cinq sur deux, que nous pouvons écrire comme le point moins quatre, moins 2,5. Nous avons donc déterminé les coordonnées du point 𝐸.
Ensuite, nous devons déterminer les coordonnées du point 𝑀. On nous dit que 𝑀 divise le segment 𝐶𝐷 extérieurement avec un rapport de sept pour quatre. Cela signifie que 𝑀 est sur le prolongement du segment reliant le point 𝐶 au point 𝐷. Le rapport entre la longueur du segment de droite 𝐶𝑀 et la longueur du segment de droite 𝐷𝑀 est de sept pour quatre. Nous pouvons calculer les coordonnées du point 𝑀 de deux façons, soit en utilisant formellement la formule de la section avec division externe, soit de manière plus pratique.
Considérons d’abord la formule de la section. Elle indique que si nous avons des points distincts 𝐴 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 𝑥 deux, 𝑦 deux et le point 𝑃, qui ne se trouve pas sur le segment 𝐴𝐵, divisant la droite 𝐴𝐵 telle que le rapport de 𝐴𝑃 à 𝐵𝑃 est de 𝑚 pour 𝑛, alors 𝑃 a pour coordonnées 𝑚𝑥 deux moins 𝑛𝑥 un sur 𝑚 moins 𝑛, 𝑚𝑦 deux moins 𝑛𝑦 un sur 𝑚 moins 𝑛. Nous pouvons trouver utile de changer les lettres ici pour 𝐶, 𝐷 et 𝑀. Ainsi, on nous dit que si le rapport de 𝐶𝑀 à 𝐷𝑀 est 𝑚 pour 𝑛 et nous savons que le rapport de 𝐶𝑀 à 𝐷𝑀 est de sept pour quatre.
Nous savons également que les coordonnées du point 𝐶, qui vont être 𝑥 un, 𝑦 un, sont quatre, moins 17 et que les coordonnées du point 𝐷, qui vont être 𝑥 deux, 𝑦 deux, sont 13, moins deux. Ainsi, en substituant ces valeurs, nous avons que les coordonnées du point 𝑀 sont sept multiplié par 13 moins quatre multiplié par quatre sur sept moins quatre et sept multiplié par moins deux moins quatre multipliées par moins 17 sur sept moins quatre. Cela se simplifie en 75 sur trois, 54 sur trois, soit le point 25, 18.
Voilà donc la méthode formelle utilisant la formule de la section avec la division externe. Cependant, nous pouvons également réfléchir à ce problème d’un point de vue pratique. Si le rapport de la longueur de 𝐶𝑀 à 𝐷𝑀 est de sept pour quatre, alors le rapport de la longueur de 𝐶𝐷 à 𝐷𝑀 est de trois pour quatre. Pour passer de 𝐶 à 𝐷, la coordonnée 𝑥 augmente de neuf et la coordonnée 𝑦 augmente de 15. Ainsi, pour passer de 𝐷 à 𝑀, la coordonnée 𝑥 devra augmenter de quatre tiers de neuf, soit 12, et la coordonnée 𝑦 devra augmenter de quatre tiers de 15, soit 20. Une autre façon de calculer les coordonnées du point 𝑀 serait donc d’ajouter 12 à la coordonnée 𝑥 du point 𝐷, 13 plus 12, ce qui donne 25, et d’ajouter 20 à la coordonnée 𝑦 du point 𝐷, moins deux plus 20, ce qui donne 18.
Maintenant que nous avons trouvé les coordonnées des points 𝐸 et 𝑀, nous devons calculer la longueur du segment 𝐸𝑀, ce que nous pouvons faire en utilisant la formule de distance. Elle indique que la distance entre les deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un carré. Ainsi, en substituant les coordonnées de 𝐸 et 𝑀, nous avons la racine carrée de 25 moins moins quatre au carré plus 18 moins moins 2,5 au carré. Cela donne la racine carrée de 29 au carré plus 20.5 au carré, ce qui donne 35,5140.
On nous demande de donner la longueur au centième près, en considérant qu’une unité de longueur est un centimètre. Nous avons donc trouvé que la longueur du segment 𝐸𝑀 est de 35,51 centimètres, au centième près.
