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Déterminez l’expression 𝑣 de ℎ de la fonction de variation pour la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale moins huit 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 moins huit en 𝑥 égale moins un.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la fonction de variation 𝑣 de ℎ d’une certaine fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale moins un. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce qu’on entend par la fonction de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en une valeur particulière de 𝑥.
On sait que la fonction de variation 𝑣 de ℎ d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑎 est donnée par 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎. Dans notre cas, la fonction 𝑓 de 𝑥 est la fonction du second degré moins huit 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 moins huit et la valeur de 𝑎 est moins un. Donc on doit remplacer cette fonction et cette valeur de 𝑎 dans une fonction de variation. Notons que la fonction de variation permet de mesurer la variation de la fonction quand 𝑥 passe de 𝑎 à 𝑎 plus ℎ.
On commence par remplacer 𝑎 par moins un dans notre fonction de variation. On obtient 𝑣 de ℎ égale 𝑓 de moins un plus ℎ moins 𝑓 de moins un. Donc, pour déterminer notre fonction de variation, on doit d’abord déterminer 𝑓 de moins un plus ℎ et 𝑓 de moins un. Pour cela, il suffit de remplacer 𝑥 par moins un plus ℎ et par moins un dans notre fonction du second degré.
Commençons par calculer 𝑓 de moins un plus ℎ. On obtient huit multiplié par moins un plus ℎ au carré moins cinq multiplié par moins un plus ℎ moins huit. On doit ensuite soustraire la valeur de 𝑓 de moins un à cela. Donc on remplace 𝑥 par moins un dans notre fonction 𝑓 de 𝑥 et on soustrait la valeur obtenue. Donc on soustrait moins huit multiplié par moins un au carré moins cinq multiplié par moins un moins huit.
On va maintenant simplifier cette expression. On va commencer par développer le binôme élevé à la puissance deux dans le premier terme. Pour cela, on peut utiliser la formule du binôme de Newton ou la double distributivité. Dans un cas comme dans l’autre, cela nous donne moins huit multiplié par un moins deux ℎ plus ℎ au carré. On va ensuite développer le second terme. Moins cinq fois moins un est égal à plus cinq et moins cinq fois ℎ est égal à moins cinq ℎ.
Il ne nous reste plus qu’à soustraire huit et on peut ensuite passer à la seconde partie de l’expression. Moins huit fois moins un au carré est égal à moins huit. Moins cinq fois moins un est égal à plus cinq. Et on doit soustraire huit à cette valeur. N’oublions pas cependant qu’on doit soustraire cette seconde partie à la première partie de l’expression. Donc on doit changer le signe de chacun de ces trois termes. Donc on additionne huit, on soustrait cinq et on additionne huit ; notons qu’on aurait aussi pu combiner les trois termes dans la parenthèse et simplement changer le signe du résultat. Ces deux méthodes fonctionnent.
On va maintenant simplifier légèrement cette expression. Tout d’abord, cinq moins cinq est égal à zéro et moins huit plus huit est égal à zéro. Ensuite, on peut développer le premier terme. Pour cela, il suffit de multiplier chaque terme entre parenthèses par moins huit. Cela nous donne moins huit plus 16ℎ moins huit ℎ au carré. Et on n’oublie pas de soustraire à cela cinq ℎ et d’additionner huit. Donc on obtient moins huit plus 16ℎ moins huit ℎ au carré moins cinq ℎ plus huit.
On peut maintenant rassembler les termes similaires. Tout d’abord, on a moins huit plus huit, ce qui est égal à zéro. Ensuite, on peut voir qu’on a 16ℎ moins cinq ℎ, et 16 mois cinq est égal à 11. Donc on peut combiner ces deux termes pour obtenir 11ℎ. Enfin, on ordonne nos termes par puissances décroissantes de ℎ. Et on ne peut simplifier davantage. Donc il s’agit de notre réponse finale.
La fonction de variation 𝑣 de ℎ de 𝑓 de 𝑥 égale moins huit 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 moins huit en 𝑥 égale moins un est 𝑣 de ℎ égale moins huit ℎ au carré plus 11ℎ.