Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de sept centimètres de côté et que des forces agissent comme indiqué sur la figure, calculez la somme algébrique des moments par rapport au sommet 𝐵.
Rappelons que l’intensité d’un moment 𝐌 d’une force 𝐅 agissant à partir d’un point 𝑃 par rapport à un point de pivot 𝑂 est donnée par l’intensité de 𝐅 multipliée par la distance perpendiculaire 𝑑 entre le point de pivot et la ligne d’action de la force.
La question nous demande de trouver la somme algébrique des moments par rapport au sommet 𝐵. Voici donc notre point de pivot. Nous avons cinq forces agissant sur le carré. Deux d’entre eux ont une ligne d’action qui passe directement par le point de pivot 𝐵 : la force de trois newtons agissant le long de la droite 𝐴𝐵 et la force de trois newtons agissant le long de la droite 𝐵𝐶. Par conséquent, les distances perpendiculaires entre les lignes d’action de ces deux forces et le point de pivot 𝐵 sont toutes deux nulles. Par conséquent, l’intensité de leurs moments par rapport au point 𝐵 est également égale à zéro, nous pouvons donc les ignorer.
Pour les forces restantes, nous devons calculer la distance perpendiculaire entre leurs lignes d’action et le point 𝐵. Sur la figure, pour la force de deux newtons agissant le long de la droite 𝐴𝐷, c’est la distance 𝑑 un, puisqu’il s’agit d’un carré et que la droite 𝐴𝐷 est perpendiculaire à la droite 𝐴𝐵. De même, pour la force de quatre newtons agissant le long de la droite 𝐷𝐶, il s’agit de la distance 𝑑 deux, puisque 𝐷𝐶 est également perpendiculaire à 𝐶𝐵. Et enfin, pour la force de quatre racines deux newtons agissant le long de la droite 𝐴𝐶, c’est la distance 𝑑 trois.
Nous devons également déterminer le sens, positif ou négatif, de chacun des moments de chacune des forces. La question nous demande d’utiliser la convention selon laquelle les moments dans le sens antihoraire sont positifs. Sur la figure, nous pouvons voir que les trois forces ont une ligne d’action dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport au point 𝐵. Donc, ce seront tous des moments positifs.
Par conséquent, la somme algébrique des moments 𝐌 est égale à deux fois 𝑑 un plus quatre fois 𝑑 deux plus quatre racine deux fois 𝑑 trois. 𝑑 un et 𝑑 deux sont tous deux égaux à la longueur du côté du carré, donc ce sont tous deux sept centimètres. 𝑑 trois est égal à la moitié de la diagonale du carré. La diagonale de tout carré est racine deux fois sa longueur de côté. Donc, 𝑑 trois est sept racine deux sur deux. Par conséquent, 𝐌 est égal à deux fois sept plus quatre fois sept plus quatre racine deux fois sept racine deux sur deux.
La racine deux ici se multipliera pour donner deux, en simplifiant avec le deux sur le dénominateur, laissant seulement quatre fois sept. L’exécution de ce calcul et la simplification nous donnent la norme de la somme algébrique des moments par rapport au sommet 𝐵, à savoir 70. Et l’unité est le newton centimètre.