Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐴 est de coordonnées moins trois, moins deux, que 𝐵 est de coordonnées zéro, cinq et que 𝐶 est de coordonnées deux, moins six, déterminez l’équation de la droite qui passe par le point 𝐴 et qui coupe le segment 𝐵𝐶 en son milieu.
Tout d’abord, nous pouvons voir qu’on nous a donné les coordonnées d’un point par lequel passe notre droite, le point de coordonnées moins trois, moins deux. On nous dit également que la droite coupe le segment 𝐵𝐶 en son milieu, ce qui signifie que nous pouvons calculer les coordonnées d’un second point de notre droite. Notre droite passe par le milieu du segment 𝐵𝐶. Nous savons que le milieu du segment d’extrémités 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux a pour coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. La coordonnée 𝑥 du milieu est la moyenne des coordonnées 𝑥 des deux extrémités et la coordonnée 𝑦 est la moyenne des coordonnées 𝑦.
Ainsi, la coordonnée 𝑥 du milieu du segment 𝐵𝐶 est égale à zéro plus deux sur deux et sa coordonnée 𝑦 est égale à cinq plus moins six sur deux, ce qui se simplifie pour donner les coordonnées un, moins un demi. Nous connaissons maintenant deux points de la droite dont nous cherchons l’équation et nous pouvons donc utiliser les coordonnées de ces deux points pour calculer la pente de la droite. La pente de la droite qui passe par les points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est donnée par 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Il s’agit de la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. En remplaçant les coordonnées de nos deux points dans cette formule, nous obtenons moins un demi moins moins deux pour la variation de 𝑦 au numérateur et un moins moins trois pour la variation de 𝑥 au dénominateur.
Au numérateur, moins un demi moins moins deux est égal à moins un demi plus deux, ce qui fait un et demi. Au dénominateur, nous avons un moins moins trois. Soit un plus trois, ce qui fait quatre. Notre expression semble un peu désordonnée car nous avons un nombre fractionnaire au numérateur. Ainsi, nous allons convertir ce nombre fractionnaire de un et demi en une fraction impropre de trois demis et remplacer la division par quatre par une multiplication par un quart. Nous avons donc trois demis fois un quart. Puis, en multipliant ensemble les deux numérateurs et les deux dénominateurs, nous obtenons trois huitièmes, la pente de notre droite est donc égale à trois huitièmes.
Maintenant que nous connaissons la pente de notre droite et les coordonnées de deux points par lesquels elle passe, nous allons pouvoir calculer son équation en utilisant la forme point-pente de l’équation d’une droite : 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 un. Nous pouvons choisir l’un ou l’autre de nos deux points pour 𝑥 un, 𝑦 un. Je choisis d’utiliser le point 𝐴 de coordonnées moins trois, moins deux parce que ses coordonnées sont deux entiers. Alors, nous remplaçons 𝑦 un par moins deux, 𝑚 par trois huitièmes et 𝑥 un par moins trois, ce qui nous donne 𝑦 moins moins deux égale trois huitièmes multiplié par 𝑥 moins moins trois. Bien sûr, cela est équivalent à 𝑦 plus deux égale trois huitièmes multiplié par 𝑥 plus trois.
Nous pouvons éliminer cette fraction en multipliant toute l’équation par le dénominateur de la fraction, soit huit. Nous avons alors huit 𝑦 plus 16 à gauche. Puis, nous avons trois multiplié par 𝑥 plus trois à droite. Notre prochaine étape va être de développer le membre de droite pour obtenir huit 𝑦 plus 16 égale trois 𝑥 plus neuf. Il ne nous reste plus qu’à rassembler tous les termes sur un même côté de notre équation. Nous les rassemblons tous à gauche en soustrayant trois 𝑥 et neuf de chaque côté. Cela nous donne notre réponse au problème.
Pour les trois points donnés, l’équation de la droite qui passe par le point 𝐴 et qui coupe le segment 𝐵𝐶 en son milieu est huit 𝑦 moins trois 𝑥 plus sept égale zéro.