Transcription de la vidéo
Deux avions décollent de la même piste, l’un montant à un angle de 45 degrés du sol et l’autre à 20 degrés du sol, comme le montre le schéma. Lorsque les deux avions se trouvent horizontalement à 2 500 m de la piste de décollage, l’avion qui est monté à un angle moins pentu est à ℎ un m du sol au niveau vertical, et l’avion qui est monté plus fortement est à ℎ deux m du sol au niveau vertical. À quelle distance se trouve ℎ deux au-dessus de ℎ un, au niveau vertical, au mètre près ?
D’accord, on nous dit dans cette question que nous avons deux avions, chacun montant à un angle différent par rapport au sol lorsqu’il quitte une piste de décollage. On peut voir dans le schéma nous avons un avion à un angle de 45 degrés par rapport au sol et l’autre à un angle de 20 degrés. Le schéma montre également que lorsque les deux avions ont parcouru une distance de 2 500 mètres horizontalement, l’avion qui est monté avec un angle plus raide a atteint une hauteur de ℎ deux mètres et celui avec l’angle le moins raide a atteint une hauteur de ℎ un mètre. Ainsi, toutes les informations qui nous sont données dans la partie principale du texte de la question sont également présentées dans le schéma. Cela signifie que nous pouvons supprimer ce texte en toute sécurité pour libérer de l’espace.
Maintenant, on nous demande de trouver la différence de hauteur entre les deux avions après que les deux avions se trouvent horizontalement à 2 500 mètres de la piste de décollage. C’est cette distance ici entre la hauteur ℎ un et la hauteur ℎ deux dans notre schéma. En d’autres termes, la question nous demande de calculer la valeur de ℎ deux moins ℎ un. Cela signifie que nous devons commencer par calculer les valeurs de ℎ deux et ℎ un.
Nous pouvons remarquer la façon dont les lignes bleues montrant les trajectoires de l’avion sont en fait les vecteurs de déplacement pour les deux avions. Donc, les quantités ℎ deux et ℎ un que nous allons calculer sont les composantes verticales de ces deux vecteurs de déplacement.
Commençons par la quantité ℎ deux, la hauteur de l’avion qui est monté avec un angle plus raide. Nous pouvons identifier ce triangle rectangle dans le schéma. L’hypoténuse du triangle est la trajectoire que suit l’avion avec l’angle plus raide. Ce côté horizontal a une longueur de 2 500 mètres. C’est la distance horizontale parcourue par l’avion. Et ce côté vertical a une longueur de ℎ deux. C’est la hauteur dont cet avion est monté lorsqu’il a parcouru 2 500 mètres à l’horizontal.
Nous savons que l’avion avec l’angle plus raide fait avec le sol est de 45 degrés. C’est la valeur de cet angle dans le coin inférieur gauche du triangle. Pour calculer ℎ deux, nous devons rappeler une équation trigonométrique utile.
Considérons un triangle rectangle général et supposons que cet angle est 𝜃. Nous appellerons 𝑜 la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent 𝑎. Ensuite, pour ce triangle rectangle général, tangente de 𝜃 est égal à 𝑜 divisé par 𝑎. Si nous comparons ce triangle rectangle général à celui que nous avons identifié dans notre schéma, nous pouvons voir précisément pourquoi cette équation va nous être utile.
L’équation relie l’angle 𝜃, la longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur du côté opposé. Cela signifie que si nous connaissons deux de ces quantités, nous pouvons utiliser cette équation pour calculer la troisième. Dans le triangle de ce schéma, nous savons que cet angle est de 45 degrés, et c’est donc notre valeur pour la quantité 𝜃. Nous savons également que la longueur du côté adjacent à cet angle est de 2 500 mètres, c’est donc notre valeur de 𝑎. Ce côté vertical du triangle opposé à l’angle de 45 degrés a une longueur ℎ deux que nous essayons de trouver. C’est notre valeur pour la quantité 𝑜.
Nous avons donc des valeurs pour 𝜃 et 𝑎, et nous voulons calculer 𝑜. Réorganisons donc cette équation en fonction de 𝑜. Pour ce faire, nous devons d’abord multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑎. Ensuite, en annulant les 𝑎 à droite, nous avons 𝑜 égal à 𝑎 multiplié par tangente de 𝜃. En utilisant nos valeurs pour 𝑎 et 𝜃 et en remplaçant 𝑜 par ℎ deux, nous avons ℎ deux est égal à 2 500 mètres multiplié par tangente de 45 degrés. Maintenant, tangente de 45 degrés est égal à un. Nous constatons donc que ℎ deux est simplement égal à 2 500 mètres.
Maintenant que nous avons calculé la valeur de ℎ deux, libérons de l’espace et trouvons la valeur de ℎ un. Pour trouver ℎ un, nous devons identifier un deuxième triangle rectangle dans la figure. Plus précisément, c’est ce triangle représenté en rose. L’hypoténuse de ce triangle est la trajectoire de l’avion avec l’angle moins raide. L’angle inférieur gauche de ce triangle est de 20 degrés, car c’est l’angle que cet avion forme avec le sol.
Ces deux avions parcourent la même distance horizontale. Et donc ce triangle a une longueur de côté horizontal de 2 500 mètres, tout comme le premier. Le côté vertical de ce triangle est la hauteur ℎ atteinte par cet avion qui est le moins monté. Ainsi, dans ce cas, la valeur de 𝜃 est de 20 degrés, le côté adjacent 𝑎 est de 2 500 mètres et le côté opposé 𝑜 est ℎ un.
En utilisant ces valeurs dans notre équation, nous avons ℎ un est égal à 2 500 mètres multiplié par tangente de 20 degrés. En calculant cette expression, nous trouvons que ℎ un est égal à 909,9256 et cetera mètres.
Maintenant que nous avons calculé ℎ deux et ℎ un, nous pouvons soustraire ℎ un de ℎ deux pour trouver cette hauteur ici. ℎ deux moins ℎ un est égal à 2 500 mètres moins 909,9256 mètres, soit 1590,074 mètres. On nous dit de donner notre réponse au mètre près. En arrondissant notre résultat, nous obtenons alors notre réponse finale. Au mètre près, ℎ deux est 1 590 mètres verticalement au-dessus de ℎ un.