Vidéo question :: Déterminer l’équation de la normale à la courbe d’une fonction polynôme en un point dont on connait la coordonnée 𝑥 Mathématiques

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Déterminez l’équation de la normale à la courbe d’équation 𝑦 égale moins deux 𝑥 au cube moins sept 𝑥 au carré plus deux en 𝑥 égale moins deux.

On nous donne une courbe qui est définie par un polynôme du troisième degré. Et nous devons déterminer l’équation de la normale à cette courbe au point où 𝑥 est égal à moins deux. Pour ce faire, nous devons d’abord rappeler ce que nous entendons par la normale à une courbe en un point et comment trouver son équation. Nous allons commencer par rappeler l’équation d’une droite. Elle est donnée par 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un, où 𝑚 est la pente de notre droite et notre droite passe par le point 𝑥 un, 𝑦 un. La raison pour laquelle nous en avons besoin est que la normale à une courbe en un point est une droite qui est perpendiculaire à la droite tangente en ce point.

Par conséquent, pour trouver l’équation de la normale à la courbe en ce point, il suffit de trouver sa pente et le point qu’elle traverse. Commençons par trouver un point par lequel notre droite normale doit passer. Dans la question, on nous a dit qu’il s’agit de la droite normale à la courbe au point de la courbe où 𝑥 est égal à moins deux. Par conséquent, la droite normale doit passer par le point de notre courbe où 𝑥 est égal à moins deux. Bien sûr, la coordonnée 𝑥 de ce point sera moins deux. Et nous pouvons trouver la coordonnée 𝑦 en substituant moins deux dans l’équation de notre courbe. Nous obtenons que 𝑦 un sera égal à moins deux multiplié par moins deux au cube moins sept fois moins deux au carré plus deux. Nous pouvons alors simplement calculer cette expression. Nous obtenons 𝑦 un égal 16 moins 28 plus deux, c’est-à-dire moins10.

Nous avons donc trouvé des valeurs pour 𝑦 un et 𝑥 un. Tout ce que nous devons faire maintenant est de trouver la valeur de la pente 𝑚. Pour ce faire, rappelez-vous que la droite normale à notre courbe en un point sera perpendiculaire à la droite tangente à la courbe en ce point. Alors disons que notre courbe est 𝑦 égale une fonction 𝑓 de 𝑥. Dans ce cas, 𝑓 de 𝑥 sera moins deux 𝑥 au cube moins sept 𝑥 au carré plus deux. Nous savons comment trouver la pente de la tangente en ce point. La droite tangente aura la même pente que notre courbe en ce point. En d’autres termes, ce sera 𝑓 prime de moins deux. Mais la droite normale doit être perpendiculaire à cette droite. En d’autres termes, 𝑚 sera égal à moins un divisé par 𝑓 prime de moins deux.

Et il y a une petite chose qui mérite d’être soulignée ici. Cela n’aura aucun sens si 𝑓 prime de moins deux est égal à zéro. Cependant, si tel est le cas, nous pouvons faire quelque chose de légèrement différent. Si 𝑓 prime de moins deux est égal à zéro, cela signifie que la droite tangente est une droite horizontale. Et pour que la droite normale soit perpendiculaire à une droite horizontale, elle doit être verticale. Donc, si tel était le cas, nous aurions besoin de trouver une équation sous la forme 𝑥 égale une constante 𝑎. Essayons donc de trouver la pente de notre droite normale 𝑚. Nous voyons que nous devons trouver 𝑓 prime de moins deux. Cela signifie que nous allons d’abord devoir trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥.

Pour trouver 𝑓 prime de 𝑥, il faut rappeler qu’il s’agit de la dérivée de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est la dérivée de moins deux 𝑥 au cube moins sept 𝑥 au carré plus deux par rapport à 𝑥. Dans ce cas, nous évaluons simplement la dérivée d’un polynôme. Nous pouvons faire ceci terme à terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous voulons multiplier par l’exposant de 𝑥, puis réduire cet exposant de un. Nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 égale moins six 𝑥 au carré moins 14𝑥.

Nous sommes maintenant prêts à trouver la valeur de 𝑓 prime de moins deux. Rappelez-vous, ce sera la pente de la tangente à notre courbe au point sur notre courbe où 𝑥 est égal à moins deux. Nous substituons 𝑥 égale moins deux dans notre expression pour 𝑓 prime de 𝑥. Nous obtenons 𝑓 prime de moins deux égale moins six fois moins deux au carré moins 14 fois moins deux. Et puis nous pouvons calculer cette expression. Nous obtenons 𝑓 prime de moins deux égale quatre. Nous pouvons alors substituer cela dans notre expression pour 𝑚 ou nous pouvons le faire en nous rappelant que nous devons simplement prendre l’opposé de l’inverse de cette valeur. Dans tous les cas, nous obtenons 𝑚 égale moins un quart.

Maintenant que nous avons trouvé un point sur la droite normale et sa pente, il suffit de substituer ces valeurs dans notre équation de droite. En substituant 𝑥 un égale moins deux, 𝑦 un égale moins 10, et 𝑚 égale moins un quart dans notre équation de droite, nous obtenons 𝑦 moins moins 10 égale moins un quart multiplié par 𝑥 moins moins deux. Et nous pouvons simplifier cela. Premièrement, 𝑦 moins moins 10 équivaut à 𝑦 plus 10. De même, 𝑥 moins moins deux équivaut à 𝑥 plus deux. Nous avons donc pu simplifier cela pour obtenir 𝑦 plus 10 égale moins un quart multiplié par 𝑥 plus deux.

Et nous pourrions simplifier cela en distribuant moins un quart sur nos parenthèses. Cependant, au lieu de cela, nous allons multiplier les deux côtés de notre équation par quatre. Cela nous donne quatre 𝑦 plus 40 égale moins un multiplié par 𝑥 plus deux. Encore une fois, nous pourrions distribuer le moins sur nos parenthèses. Cependant, nous allons simplement ajouter 𝑥 plus deux des deux côtés de l’équation. Cela nous donne quatre 𝑦 plus 40 plus 𝑥 plus deux égale zéro. Enfin, nous pouvons simplifier et réorganiser cette équation pour obtenir quatre 𝑦 plus 𝑥 plus 42 égale zéro, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’équation de la normale à la courbe 𝑦 égale moins deux 𝑥 au cube moins sept 𝑥 au carré plus deux au point où 𝑥 est égal à moins deux est donnée par l’équation quatre 𝑦 plus 𝑥 plus 42 égale zéro.