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Vidéo : Retrouver les cosinus, sinus et tangentes d’angles particuliers

Anne-Claire Dupuis

Dans cette vidéo, apprenez à retrouver simplement les valeurs des cosinus, sinus et tangente des angles 𝜋/3, 𝜋/6 et 𝜋/4 radians en utilisant vos connaissances en géométrie.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment retrouver les valeurs de cosinus, sinus et tangente des angles 𝜋 sur trois, 𝜋 sur six et 𝜋 sur quatre radians en utilisant nos connaissances de géométrie.

Commençons donc avec l’angle 𝜋 sur trois radians. Nous nous plaçons donc dans le cercle unitaire, et nous avons le point 𝑀 de coordonnées cosinus 𝜋 sur trois, sinus 𝜋 sur trois.

Considérons maintenant le triangle 𝐴𝑂𝑀. Deux de ses côtés, donc le côté 𝑂𝐴 et 𝑂𝑀 sont un rayon du cercle, donc ils sont de même longueur ; ce triangle est donc isocèle. Nous avons donc deux angles égaux ici. Par ailleurs, nous savons que la somme des angles d’un triangle est 𝜋 radians. Nous avons donc pour la somme de ces deux angles deux 𝜋 sur trois, donc divisé par deux ça nous donne 𝜋 sur trois. Le triangle 𝑂𝐴𝑀 est donc équilatéral.

Cela veut donc dire que si je trace la hauteur issue du point 𝑀 du triangle, elle va intersecter la droite 𝑂𝐴, enfin le segment 𝑂𝐴 en son milieu. On en déduit donc que cosinus de 𝜋 sur trois égale un demi. L’ordonnée du point 𝑀, c’est-à-dire sinus 𝜋 sur trois, correspond donc à la hauteur du triangle, soit la longueur du segment 𝑀𝐻. Il nous suffit d’appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle 𝑂𝐻𝑀, qui va nous donner 𝑂𝐻 au carré plus 𝐻𝑀 au carré égale 𝑂𝑀 au carré. Nous savons que 𝑂𝐻 est un demi, donc 𝑂𝐻 au carré est un quart. 𝐻𝑀 au carré est sinus 𝜋 sur trois au carré, que je peux aussi écrire de cette façon, donc sinus carré 𝜋 sur trois, ça veut dire donc sinus de 𝜋 sur trois au carré. Et 𝑂𝑀 est un, donc un au carré égale un. Maintenant je soustrais un quart de chaque côté de l’équation, ce qui me donne sinus au carré de 𝜋 sur trois égale trois quarts. Et donc puisque sinus de 𝜋 sur trois est positif, je trouve racine carrée de trois quarts, égale racine de trois sur racine de quatre qui est deux.

Nous avons donc trouvé que sinus de 𝜋 sur trois égale racine de trois sur deux.

Nous allons maintenant trouver la valeur de la tangente de 𝜋 sur trois géométriquement. Donc je vais tracer la droite d’équation 𝑥 égale un, et je prolonge la droite 𝑂𝑀 jusqu’à ce qu’elle intersecte cette droite 𝑥 égale un. Le point d’intersection est le point 𝑇 de coordonnées un, tangente 𝜋 sur trois.

Maintenant si je regarde le triangle 𝑂𝑀𝐴 et que je veux l’agrandir d’un facteur deux, donc réaliser une homothétie de centre 𝑂 et de facteur deux, je vois que je vais obtenir ce triangle-ci ; le triangle 𝑂𝑇𝐶, qui est donc tout comme 𝑂𝑀𝐴, un triangle équilatéral, par contre, la longueur de ses côtés est deux puisque c’est le double de chaque côté du triangle 𝑂𝑀𝐴. Cela veut dire aussi que la hauteur 𝑀𝐻 qui est maintenant 𝑇𝐴 dans le triangle 𝑂𝑇𝐶 a aussi été doublée. Et puisque sa valeur est racine de trois sur deux dans le triangle 𝑂𝑀𝐴, elle est de racine de trois dans le cli- le triangle 𝑂𝑇𝐶. Les coordonnées du point 𝑇 sont donc un, racine de trois ; la tangente de 𝜋 sur trois est donc racine de trois.

Passons maintenant à l’angle 𝜋 sur six radians. Donc toujours dans le cercle unitaire avec donc le point 𝑀 de coordonnées cosinus 𝜋 sur six et sinus 𝜋 sur six.

Regardons cette fois-ci le triangle 𝑂𝑀𝐵. On voit que comme tout à l’heure, deux de ses côtés sont le rayon du cercle donc ont même longueur. Cet angle ici est de 𝜋 sur trois, puisque avec 𝜋 sur six ils forment l’angle 𝜋 sur deux, l’angle droit ; et donc nous avons un triangle isocèle. Les deux angles ici sont égaux, et puisque leur somme est deux 𝜋 sur trois, chaque un- chacun d’eux est de 𝜋 sur trois. Donc j’ai de nouveau un triangle équilatéral, ce qui implique que sa hauteur est également sa médiane. Donc si je prends par exemple la hauteur issue du sommet 𝑀, je sais qu’elle va couper le segment 𝑂𝐵 en son milieu ; ce qui veut dire que sinus de 𝜋 sur six égale un demi. Nous appliquons de nouveau Pythagore dans le triangle 𝑂𝐻𝑀, ce qui nous donne 𝑂𝐻 au carré plus 𝐻𝑀 au carré égale 𝑂𝑀 au carré. 𝑂𝐻 est un demi, 𝐻𝑀 est cosinus 𝜋 sur six et 𝑂𝑀 est un. Donc, en remplaçant tout ça, je trouve que un quart plus cosinus de 𝜋 sur six au carré égale un au carré, c’est-à-dire un. Je soustrais un quart de chaque côté de mon équation, et je trouve que cosinus de 𝜋 sur six au carré égale un moins un quart, égale trois quarts.

Nous savons que le cosinus 𝜋 sur six est positif, donc nous avons cosinus 𝜋 sur six égale racine carrée de trois quarts, soit racine de trois sur deux.

Donc nous voyons ici que les valeurs de cosinus et sinus de 𝜋 sur six son inversées par rapport à celles de l’angle 𝜋 sur trois.

Enfin, pour trouver la tangente, je vais ici simplement diviser la valeur du sinus par celle du cosinus, ce qui me donne un demi divisé par racine de trois sur deux. Les deux se simplifient, ce qui me donne un sur racine de trois. Et comme en général on n’aime pas avoir une racine carrée dans le dénominateur d’une fraction, donc je vais multiplier le numérateur et le dénominateur par racine de trois, ce qui va me donner racine de trois au niveau du numérateur, et le dénominateur devient donc trois ; racine de trois fois racine de trois.

Voilà donc les valeurs que nous avons trouvées pour sinus, cosinus et tangente de 𝜋 sur six, et nous remarquons donc que le sinus de 𝜋 sur six égale le cosinus de 𝜋 sur trois, et le cosinus de 𝜋 sur six égale le sinus de 𝜋 sur trois, et de cela découle aussi que la tangente de 𝜋 sur six égale un sur la tangente de 𝜋 sur trois.

Et enfin, 𝜋 sur quatre radians. Donc toujours dans le cercle unitaire, notre point 𝑀 maintenant comme coordonnées cosinus 𝜋 sur quatre et sinus 𝜋 sur quatre. 𝑋 est la projection de 𝑀 sur l’axe des 𝑥, et je regarde maintenant le triangle 𝑂𝑋𝑀. C’est un triangle rectangle en 𝑋, et puisque l’angle 𝑂𝑋 𝑂𝑀 est de 𝜋 sur quatre, un on voit que l’angle 𝑀𝑂 𝑀𝑋 doit être également de mesure 𝜋 sur quatre radians, puisque la somme des angles doit nous faire 𝜋.

Le triangle est donc isocèle et 𝑂𝑋 égale 𝑋𝑀, ce qui veut dire que cosinus de 𝜋 sur quatre égale sinus de 𝜋 sur quatre. Je peux maintenant appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle 𝑂𝑋𝑀 qui va me donner 𝑂𝑋 au carré plus 𝑋𝑀 au carré égale 𝑂𝑀 au carré, soit cosinus de 𝜋 sur quatre au carré plus sinus de 𝜋 sur quatre au carré égale un au carré. Et puisque cosinus 𝜋 sur quatre égale sinus 𝜋 sur quatre, je peux écrire deux cosinus carrés de 𝜋 sur quatre égale un, soit cosinus carré de 𝜋 sur quatre égale un demi. Et puisque le cosinus est positif, nous avons cosinus de 𝜋 sur quatre égale racine de un demi, ce qui est un sur racine de deux.

Et ici encore je vais multiplier le numérateur et le dénominateur par racine de deux pour ne plus avoir de racine carrée au dénominateur. Donc j’obtiens une fois racine de deux, racine de deux au numérateur, et au dénominateur racine de deux au carré, ça me donne deux.

Et puisque cosinus 𝜋 sur quatre égale sinus 𝜋 sur quatre, nous savons alors que sinus 𝜋 sur quatre égale également racine de deux sur deux.

La tangente peut aussi facilement être déterminée graphiquement en prolongeant la droite 𝑂𝑀 jusqu’à ce qu’elle coupe la droite d’équation 𝑥 égale un en 𝑇, dont les coordonnées sont donc un, tangente 𝜋 sur quatre.

Les triangles 𝑂𝑀𝑋 et 𝑂𝑇𝐴 sont donc semblables car homothétiques, donc nous avons de nouveau un triangle rectangle isocèle, et puisque 𝑂𝐴 égale un puisque c’est le rayon du cercle unitaire, 𝐴𝑇 est égal à un également. Donc tangente 𝜋 sur quatre égale un.

On remarque aussi que 𝑂𝑇 est la diagonale du carré 𝑂𝐵𝑇𝐴 de côté un. Nous aurions pu aussi bien sûr tout à fait déterminer la tangente en divisant le sinus par le cosinus, et puisqu’ils sont de même valeur, nous obtenons bien sûr un.

Voilà donc pour 𝜋 sur quatre radians, il suffit de se souvenir que nous sommes alors dans la moitié de l’angle droit. Nous sommes donc ici, nous avons eu la diagonale d’un carré, ce qui veut dire que le cosinus et le sinus ont la même valeur. En appliquant Pythagore, on va trouver que cette valeur est de racine de deux sur deux, et la tangente de 𝜋 sur quatre est un.

En résumé, nous avons vu comment retrouver les valeurs de sinus, cosinus et tangente des angles 𝜋 sur trois, 𝜋 sur six et 𝜋 sur quatre radians, en utilisant tout simplement nos connaissances des triangles rectangles équilatéraux et isocèles, et en appliquant le théorème de Pythagore.

Et en utilisant la symétrie dans le cercle unitaire, connaître ces, les valeurs de cosinus, sinus et tangente pour ces trois angles particuliers nous permet en réalité de trouver des cosinus, sinus et tangentes des 12 angles indiqués ici dans le cercle unitaire.