Vidéo : Déterminer la distance entre deux droites parallèles

Quelle est la distance entre les droites parallèles −6𝑦 + 11 = 0 et 𝑥 − 6𝑦 + 22 = 0?

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Transcription de vidéo

Quelle est la distance entre les droites parallèles 𝑥 moins six 𝑦 plus 11 est égal à zéro et 𝑥 moins six 𝑦 plus 22 est égal à zéro ?

Tout d’abord, clarifions le sens de la distance entre ces droites parallèles. Il existe bien entendu plusieurs distances différentes entre ces deux droites, en fonction des deux points que tu choisis de relier. Lorsque nous nous référons à la distance entre les droites parallèles, nous entendons la distance la plus courte entre elles, qui est en fait la distance perpendiculaire.

Voyons comment aborder cela. Nous avons une formule pour nous dire comment calculer la distance perpendiculaire d’un point de coordonnées 𝑥 un et 𝑦 un à une droite avec l’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale à zéro. La distance est égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐 divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Nous pourrions appliquer cette formule au calcul de la distance entre des droites parallèles si nous pouvons trouver les coordonnées d’un point situé sur l’une des deux droites. Considérons la première droite 𝑥 moins six 𝑦 plus 11 est égal à zéro.

Pour plus de simplicité, trouvons les coordonnées du point où cette droite rencontre l’axe des ordonnées, son ordonnée à l’origine. Ajouter six 𝑦 aux deux membres de cette équation donne six 𝑦 est égal à 𝑥 plus 11. Diviser les deux membres de l’équation par six donne 𝑦 est égal à 𝑥 sur six plus 11 sur six.

Maintenant, si nous pouvons coupler ceci avec la forme cartésienne réduite de l’équation d’une droite, nous pouvons voir que l’ordonnée à l’origine de cette droite est 11 sur six. Comme il s’agit d’un point sur l’axe des 𝑦, son abscisse sera zéro. Et par conséquent, les coordonnées de ce point sont zéro, 11 sur six. Nous allons donc utiliser les coordonnées de ce point avec l’équation de la deuxième droite afin de calculer la distance qui les sépare.

Revenons à cette formule de distance. Le point avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un est maintenant le point avec les coordonnées zéro, 11 sur six. En comparant la forme générale de l’équation de la droite avec la droite dans cette question, nous pouvons voir que 𝑎 est égal à un, 𝑏 est égal à moins six et 𝑐 est égal à 22.

Modifions maintenant les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 un et 𝑦 un dans la formule de distance. Nous avons que d est égal au module ou la valeur absolue de un multiplié par zéro plus moins six multiplié par 11 sur six plus 22, le tout sur la racine carrée de un au carré plus moins six au carré.

Maintenant, en évaluant chacune de ces parties et en simplifiant conduit le module de 11 sur la racine carrée de 37. Rappelle-toi, le module d’un nombre n’est que sa valeur absolue. Comme 11 est déjà un nombre positif, le module de 11 est également égal à 11. Nous avons donc que la distance entre ces deux droite est de 11 sur la racine de 37.

Or cette fraction a une racine au dénominateur. Nous devons donc le rationaliser. Et pour ce faire, nous allons multiplier par la racine de 37 sur la racine de 37. Cela donne 11 racine de 37 au numérateur. Et au dénominateur, la racine de 37 multipliée par la racine de 37 n’est que 37. Par conséquent, la distance entre les deux droites parallèles 𝑥 moins six 𝑦 plus 11 égal à zéro et 𝑥 moins six 𝑦 plus 22 égal à zéro vaut 11 racine de 37 sur 37.

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