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Vidéo de la leçon: Division euclidienne de polynômes avec un reste Mathematics

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le quotient et le reste lors de la division de polynômes, y compris le cas où le diviseur est irréductible.

17:47

Transcription de la vidéo

Division euclidienne de polynômes avec un reste

Dans cette vidéo, nous allons apprendre un algorithme pour nous aider à diviser un polynôme par un autre polynôme. Nous verrons en quoi cela ressemble à une division posée ordinaire, et comment trouver le quotient et le reste. Enfin, nous parlerons du théorème du reste et de son lien avec le théorème des diviseurs. Avant de parler de la division de deux polynômes, commençons par parler de la division de deux nombres. Considérons 231 divisé par cinq. Nous connaissons plusieurs façons différentes d’évaluer cette expression. Par exemple, si nous devions l’évaluer directement, nous pourrions écrire la réponse comme 46.2. Une autre façon de dire cela serait 46 et un cinquième ou 46 plus un sur cinq.

Mais n’oubliez pas que le processus que nous avons utilisé pour arriver à cette réponse est une division posée. Il y a plusieurs façons légèrement différentes de faire une division posée. Nous n’aborderons qu’une seule d’entre elles. Pour commencer, nous appelons cinq notre diviseur. Nous voulons voir combien de fois il y a cinq dans 231. Pour commencer, nous devons vérifier combien de fois il y a cinq dans 200. Nous savons que dans 200 il y a cinq 40 fois. Nous allons donc écrire quatre dans la colonne des dizaines. Ensuite, nous savons que 40 fois cinq est 200, nous devons donc soustraire ce chiffre de 231. Cela nous laisse bien sûr 31. Nous n’avons pas besoin de refaire ce processus. Nous devons voir combien de fois il y a cinq dans 30.

Bien sûr, nous savons que cinq se produit dans 30 six fois, donc nous devons ajouter six à notre réponse de 40. Tout comme nous l’avons fait auparavant, nous devons soustraire six fois cinq. Nous savons que c’est égal à 30. Et cela nous laisse bien sûr avec un. Si nous devions essayer de refaire ce processus, nous aurions besoin de voir combien de fois il y a cinq dans un. Et, bien sûr, il n’y a pas cinq dans un. Cela nous dit donc que notre processus est terminé et qu’il nous reste un. Nous appelons ce terme un le reste. Et nous appelons 46 le quotient. Et nous pouvons le voir dans ce que nous avions auparavant. Nous avons 231 divisé par cinq égale le quotient 46 plus le reste un divisé par le diviseur cinq.

Une autre façon courante de voir cela écrit est de multiplier cette équation par cinq. Cela nous donnerait 231 égale cinq fois 46 plus un. Et ça vaut la peine de souligner que nous pouvons toujours garantir que le reste sera strictement inférieur à notre diviseur. En effet, si ce n’était pas le cas, nous aurions pu simplement augmenter notre quotient. Nous allons donc maintenant poser la question, quel est le lien avec la division de polynômes ? Cette fois, au lieu de nous donner un nombre entier divisé par un nombre entier, nous allons nous donner un polynôme divisé par un polynôme. Et nous allons trouver un algorithme qui nous aidera à voir combien de fois d de 𝑥 se produit dans 𝑝 de 𝑥. Nous appellerons cela division euclidienne de polynômes. Et ce sera très similaire à une division posée régulière.

Tout comme pour la division posée régulière, nous trouverons un quotient et un reste. Cependant, cette fois, comme nous divisons des polynômes, le quotient et le reste seront également des polynômes. Nous les appellerons 𝑞 de 𝑥 et 𝑟 de 𝑥. Et notre réponse sera exactement de la même forme que celle que nous avons obtenue pour la division posée régulière. Nous trouverons les polynômes 𝑞 de 𝑥 et 𝑟 de 𝑥 de telle sorte que 𝑝 de 𝑥 divisé par d de 𝑥 est égal à 𝑞 de 𝑥 plus 𝑟 de 𝑥 divisé par d de 𝑥.

Enfin, n’oubliez pas que lorsque nous faisions une division posée régulière, nous pouvions garantir que notre reste serait inférieur à notre diviseur. Et nous aurons quelque chose de similaire avec la division de polynômes. Nous pourrons garantir que le degré du reste est plus petit que le degré du diviseur. Et le raisonnement est exactement le même que pour la division posée régulière. Nous continuons à supprimer les multiples de d de 𝑥 jusqu’à ce que nous ne puissions plus le faire. Passons maintenant à un exemple où l’on utilise la division euclidienne de polynômes.

Utilisez la division de polynômes pour simplifier trois 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus un divisé par 𝑥 plus un.

Dans la question on nous demande d’utiliser la division de polynômes pour simplifier cette expression. Nous appellerons le polynôme de troisième degré au numérateur, c’est-à-dire trois 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus un, 𝑝 de 𝑥. Et nous appellerons le polynôme de premier degré au dénominateur, c’est-à-dire 𝑥 plus un, d de 𝑥. C’est notre diviseur. La division de polynômes est très similaire à la division posée régulière. Nous allons procéder de la même manière. Nous aurons notre diviseur 𝑥 plus un qui se produit dans trois 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus un.

En effectuant la division posée régulière, nous voulons voir combien de fois notre diviseur se produit dans le plus grand terme. Nous pouvons faire exactement la même chose ici. Nous voulons savoir combien de fois 𝑥 se produit dans le polynôme terminal le plus élevé. Cela fait trois 𝑥 au cube. Bien sûr, trois 𝑥 au cube divisé par 𝑥, c’est trois 𝑥 au carré. Ou alors, nous pourrions écrire que trois 𝑥 au carré fois 𝑥 égale trois 𝑥 au cube. Comme pour la division posée ordinaire, nous voulons écrire ceci dans notre quotient. Mais n’oubliez pas qu’il s’agit d’un terme pour 𝑥 au carré, donc nous l’écrirons dans la colonne pour 𝑥 au carré.

Dans la division posée régulière, l’étape suivante consiste à multiplier ce terme que nous venons d’ajouter au quotient par le diviseur. Nous voudrions ensuite le soustraire de notre polynôme. Nous ferons exactement la même chose ici. Tout d’abord, nous devons trouver trois 𝑥 au carré multiplié par notre diviseur 𝑥 plus un. Si nous évaluons cela, nous obtenons trois 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré. Nous voulons ensuite soustraire ce résultat de notre polynôme 𝑝 de 𝑥. Évaluons cela terme par terme. D’abord, trois 𝑥 au cube moins trois 𝑥 au cube égale zéro, et deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 au carré égale moins 𝑥 au carré.

Il convient de souligner que vous verrez souvent ce terme zéro omis du calcul. C’est parce que nous aurons toujours zéro dans cette position. Peu importe si vous préférez le laisser ou le retirer. Dans le cas présent, nous le laisserons en dehors. Et puis, tout comme pour une division posée, nous devons faire descendre le reste de nos termes. Cela nous donne moins 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus un. Tout comme pour une division posée normale, nous devons maintenant répéter notre processus. Nous devons voir combien de fois 𝑥 se produit dans notre terme le plus élevé, moins 𝑥 au carré.

Nous savons que moins 𝑥 au carré divisé par 𝑥 est moins 𝑥. Nous allons l’écrire dans notre quotient dans la colonne que nous avons pour 𝑥. Maintenant, comme nous l’avons fait avant, nous devons multiplier notre diviseur 𝑥 plus un par moins 𝑥. Cela nous donne moins 𝑥 fois 𝑥 plus un. Et si nous évaluons cela, nous obtenons moins 𝑥 au carré moins 𝑥. Et souvenez-vous, la prochaine chose que nous devons faire est de soustraire cela de notre polynôme moins 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus un. Nous allons faire cela terme par terme. D’abord, moins 𝑥 au carré moins moins 𝑥 au carré est moins 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré. Cela est égal à zéro.

Ensuite, nous avons moins quatre 𝑥 moins moins 𝑥 au carré est moins quatre 𝑥 plus 𝑥. Ce qui est égal à moins trois 𝑥. Maintenant, tout comme nous l’avons fait avant, nous devons faire descendre cette constante un. Cela nous donne donc moins trois 𝑥 plus un. Comme pour la division posée ordinaire, nous devons maintenant recommencer. Nous continuons jusqu’à ce que nous ne puissions plus le faire. Une fois de plus, nous devons voir combien de fois 𝑥 se produit dans notre terme le plus élevé. C’est moins trois 𝑥. Cette fois-ci, moins trois 𝑥 divisé par 𝑥 est égale à moins trois. Nous allons ajouter cela à notre quotient. L’étape suivante consiste à multiplier moins trois par notre diviseur 𝑥 plus un et à soustraire ce nombre de moins trois 𝑥 plus un.

Nous voulons donc évaluer moins trois 𝑥 fois 𝑥 plus un. Si nous distribuons cela sur nos parenthèses, nous obtenons moins trois 𝑥 moins trois. Et maintenant, nous soustrayons ce résultat de moins trois 𝑥 plus un. Nous allons faire cela terme par terme. Le premier terme, nous obtenons moins trois 𝑥 moins moins trois 𝑥, ce qui correspond à moins trois 𝑥 plus trois 𝑥, et nous savons que c’est égal à zéro. Ensuite, nous voulons un moins moins trois. C’est un plus trois, et nous savons que c’est égal à quatre. Mais maintenant, si nous essayons de poursuivre ce processus, nous avons un problème. Nous voudrions voir combien de fois 𝑥 se produit dans quatre. Eh bien, c’est juste quatre divisé par 𝑥.

Ce n’est pas un polynôme. En d’autres termes, nous ne pouvons plus diviser cette expression par notre diviseur. En fait, cela se produira toujours lorsque nous nous retrouverons avec une expression dont le degré sera strictement inférieur à notre diviseur. Et tout comme pour la division posée régulière, nous appellerons cela le reste. Nous l’appellerons 𝑟 de 𝑥 car il s’agira souvent d’un polynôme. Et tout comme pour la division posée régulière, nous appellerons trois 𝑥 au carré moins 𝑥 moins trois notre quotient. Nous appellerons cela 𝑞 de 𝑥.

Et maintenant, nous pouvons arriver à notre réponse exactement de la même manière que pour la division posée régulière. Nous pouvons utiliser notre reste et notre quotient pour réécrire 𝑝 de 𝑥 divisé par d de 𝑥 comme 𝑞 de 𝑥 plus 𝑟 de 𝑥 divisé par d de 𝑥, le quotient plus le reste divisé par le diviseur. Il ne nous reste plus qu’à substituer dans nos expressions 𝑞 de 𝑥, 𝑟 de 𝑥 et d de 𝑥. Et en faisant cela, nous avons pu réécrire l’expression qui nous a été donnée dans la question comme trois 𝑥 au carré moins 𝑥 moins trois plus quatre divisé par 𝑥 plus un.

Faisons un autre exemple pour nous aider à consolider ce que nous avons appris.

Utilisez la division de polynômes pour trouver le quotient 𝑞 de 𝑥 et le reste 𝑟 de 𝑥 pour 𝑝 de 𝑥 divisé par d de 𝑥, où 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance sept plus 𝑥 à la puissance six plus 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un et d de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus 𝑥 plus un.

Dans la question, on nous demande d’utiliser la division de polynômes. On nous donne notre polynôme 𝑝 de 𝑥 et notre diviseur d de 𝑥. Nous devons trouver le quotient 𝑞 de 𝑥 et le reste 𝑟 de 𝑥 lorsque nous divisons 𝑝 de 𝑥 par d de 𝑥. Avant de commencer à répondre à cette question, il y a deux ou trois choses que nous devrions vérifier. Par exemple, nous devons vérifier que nos polynômes 𝑝 de 𝑥 et d de 𝑥 sont écrits dans l’ordre décroissant des puissances de 𝑥. Dans ce cas, cela est vrai, nous pouvons donc continuer notre division. Nous allons mettre en place notre division. Nous avons le diviseur d de 𝑥 qui divise notre polynôme 𝑝 de 𝑥.

Avant de commencer notre division, il y a encore une chose que nous pouvons vérifier. Si nous regardons notre polynôme 𝑝 de 𝑥, nous pouvons voir qu’il n’y a pas de terme pour 𝑥 à la puissance cinq ni de terme pour 𝑥 au cube. Dans la division posée régulière, lorsque cela se produit, nous avons le chiffre zéro à cet endroit. Cependant, comme il s’agit d’un polynôme, nous n’avons pas écrit ces termes. Il y a plusieurs façons d’aborder ce problème. Nous pourrions simplement laisser cela tel quel, ou nous pourrions ajouter les termes zéro 𝑥 à la puissance cinq et zéro 𝑥 au cube. Et ces deux méthodes marchent, et vous pouvez les utiliser si vous préférez. Cependant, dans cette vidéo, nous allons simplement laisser un espace à la place de ces termes pour garder nos colonnes alignées.

Passons maintenant à notre division. Le terme du degré le plus élevé dans 𝑝 de 𝑥 est 𝑥 à la puissance sept. Nous devons diviser ce terme par 𝑥 au cube. Et bien sûr, 𝑥 à la puissance sept divisé par 𝑥 au cube est 𝑥 à la puissance quatre. Nous allons l’inscrire dans notre quotient, et dans la colonne des termes avec 𝑥 à la puissance quatre. Ce que nous devons faire ensuite c’est de multiplier notre diviseur par le terme de notre quotient 𝑥 à la puissance quatre. En multipliant le tout, nous obtenons 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑥 au cube plus 𝑥 plus un. Et si nous distribuons cela et que nous simplifions, nous obtenons 𝑥 à la puissance sept plus 𝑥 à la puissance cinq plus 𝑥 à la puissance quatre.

Nous voulons maintenant soustraire cela de notre polynôme 𝑝 de 𝑥. Et n’oubliez pas que nous voulons conserver chaque terme dans sa colonne respective. Nous commencerons par 𝑥 à la puissance sept. Ensuite, nous devons ajouter 𝑥 à la puissance cinq. Enfin, nous ajoutons un terme pour 𝑥 à la puissance quatre. Maintenant, nous pouvons simplement soustraire cela terme par terme. Tout d’abord, nous avons 𝑥 à la puissance sept moins 𝑥 à la puissance sept. Ceci égale zéro. Vous pouvez écrire ce terme de zéro si vous préférez. Cependant, ce terme nous donnera toujours zéro. Nous allons donc laisser ceci vide.

Ensuite, nous avons 𝑥 à la puissance six moins zéro. Bien sûr, cela est juste égal à 𝑥 à la puissance six. Ensuite, nous avons zéro moins 𝑥 à la puissance cinq. C’est moins 𝑥 à la puissance cinq. Ensuite, dans la colonne suivante, nous avons 𝑥 à la puissance quatre moins 𝑥 à la puissance quatre. C’est égal à zéro. Nous allons laisser cela vide. Et rappelez-vous, nous devons faire descendre le reste de nos termes. Il convient de souligner que certaines personnes préfèrent laisser ces termes en haut jusqu’à ce qu’on en ait besoin. Mais nous allons toujours faire descendre ces termes.

Nous sommes maintenant prêts à trouver le terme suivant dans notre quotient. Nous devons diviser 𝑥 à la puissance six par 𝑥 au cube. Et 𝑥 à la puissance six divisé par 𝑥 au cube est 𝑥 au cube. Et souvenez-vous, nous écrivons cela dans notre colonne pour les termes 𝑥 au cube. L’étape suivante de notre division sera de multiplier 𝑥 au cube par notre diviseur 𝑥 au cube plus 𝑥 plus un. Cela nous donne 𝑥 au cube fois 𝑥 au cube plus 𝑥 plus un. Et si nous distribuons cela et que nous simplifions, alors nous obtenons 𝑥 à la puissance six plus 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 au cube.

Nous devons maintenant soustraire cela de notre polynôme. N’oubliez pas qu’il est important d’écrire chaque terme dans la bonne colonne. Nous pouvons ensuite soustraire cela terme par terme. Dans notre première colonne, nous avons 𝑥 à la puissance six moins 𝑥 à la puissance six, qui est zéro. Dans notre deuxième colonne, nous avons moins 𝑥 à la puissance cinq moins zéro, ce qui est égal à moins 𝑥 à la puissance cinq. Dans la colonne suivante, nous avons zéro moins 𝑥 à la puissance quatre, ce qui est moins 𝑥 à la puissance quatre. Nous avons une histoire plus simple dans notre colonne suivante. Nous avons zéro moins 𝑥 au cube, ce qui est moins 𝑥 au cube. Puis, une fois de plus, nous faisons descendre les termes restants.

Une fois de plus, nous devons trouver le terme suivant dans notre quotient. Nous devons diviser moins 𝑥 à la puissance cinq par 𝑥 au cube. Bien sûr, si nous faisons cela, nous obtenons moins 𝑥 au carré. Une fois de plus, nous devons multiplier le terme nouvellement ajouté à notre quotient par notre diviseur. En distribuant cela et en simplifiant, nous obtenons moins 𝑥 à la puissance cinq moins 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré. Nous devons ensuite soustraire ce résultat de notre polynôme. N’oubliez pas que nous voulons écrire chaque terme dans sa bonne colonne. Nous faisons la soustraction terme par terme. Cette fois, nous obtenons moins 𝑥 à la puissance quatre plus deux 𝑥 au carré. Puis nous faisons descendre le reste de nos termes.

Et une fois de plus, nous devons trouver le terme suivant dans 𝑞 de 𝑥. Nous devons diviser moins 𝑥 à la puissance quatre par 𝑥 au carré. En faisant cela, nous obtenons moins 𝑥. Une fois de plus, nous multiplions moins 𝑥 par notre diviseur. Et si nous évaluons cela, nous obtenons moins 𝑥 à la puissance quatre moins 𝑥 au carré moins 𝑥. Maintenant, nous devons soustraire ceci de notre polynôme. En évaluant la soustraction et en faisons descendre notre terme un, nous obtenons trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Et maintenant, si nous essayions de trouver le terme suivant dans notre quotient, nous obtiendrions trois 𝑥 au carré divisé par 𝑥 au cube. C’est trois sur 𝑥.

Ce n’est pas un polynôme. Cela nous indique que nous avons terminé. Nous pouvons voir que le degré du polynôme qui nous reste est inférieur à celui de notre diviseur. Nous avons donc trouvé notre quotient 𝑞 de 𝑥 et notre reste 𝑟 de 𝑥. Et cela nous donne notre réponse finale. Nous avons pu montrer que notre quotient 𝑞 de 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré moins 𝑥 et notre reste 𝑟 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un.

Parlons maintenant d’un cas particulier pour notre diviseur d de 𝑥. En utilisant la division de polynômes sur 𝑝 de 𝑥 divisé par d de 𝑥, nous savons que nous pouvons trouver des polynômes 𝑞 de 𝑥 et 𝑟 de 𝑥 tels que 𝑝 de 𝑥 égale d de 𝑥 fois 𝑞 de 𝑥 plus 𝑟 de 𝑥. Nous voulons parler du cas où nous divisons par le polynôme du premier degré 𝑥 moins 𝑎. Cela signifie que nous avons 𝑝 de 𝑥 égale 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑞 de 𝑥 plus 𝑟 de 𝑥. Mais n’oubliez pas que cela signifie que le degré de notre diviseur est égal à un. Et nous savons que notre reste doit avoir un degré inférieur à celui de notre diviseur.

Ainsi, dans le cas où nous divisons par un polynôme du premier degré, nous savons que notre reste doit avoir un degré zéro. Nous pouvons simplement écrire ceci comme la constante 𝑟. Et cela nous donne un résultat utile. Voyons ce qui se passerait si nous remplacions 𝑥 par 𝑎. En substituant 𝑥 égale 𝑎, nous obtenons 𝑝 de 𝑎 égale 𝑎 moins 𝑎 fois 𝑞 de 𝑎 plus 𝑟. Bien sûr, 𝑎 moins 𝑎 égale zéro. Il nous reste donc 𝑝 de 𝑎 égale 𝑟. Et c’est un résultat utile pour nous aider à trouver le reste lorsque nous divisons par un polynôme du premier degré. C’est ce que nous appelons le théorème du reste. Formalisons donc ce que nous entendons par le théorème du reste.

Le théorème du reste nous dit que si nous divisons un polynôme 𝑝 de 𝑥 par un polynôme du premier degré 𝑥 moins 𝑎, alors le reste doit être la constante 𝑝 évaluée en 𝑎. C’est un résultat utile pour nous aider à trouver notre terme de reste. Une autre chose qui mérite d’être soulignée est ce qui se passe lorsque 𝑝 de 𝑎 égale zéro. Eh bien, lorsque 𝑝 de 𝑎 égale zéro, le théorème du reste nous dit que notre reste doit être égal à zéro. Mais que signifie le fait que notre reste soit égal à zéro ? Eh bien, si notre reste est égal à zéro, alors nous devons avoir que 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑞 de 𝑥.

En d’autres termes, nous devons avoir 𝑥 moins 𝑎 est un diviseur de notre polynôme 𝑝 de 𝑥. Et c’est un théorème bien connu. Nous l’appelons le théorème du diviseur. Si 𝑝 de 𝑎 égale zéro, alors 𝑥 moins 𝑎 est un diviseur de 𝑝 de 𝑥. De même, si 𝑥 moins 𝑎 est un diviseur de 𝑝 de 𝑥, alors son reste après division est égal à zéro. Voyons maintenant un exemple où nous utilisons le théorème du reste.

Trouvez le reste lorsque trois 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus cinq est divisé par trois 𝑥 plus quatre.

La question est de trouver le terme du reste lorsqu’un polynôme du troisième degré est divisé par un polynôme du premier degré. Une méthode de le faire est d’utiliser la division de polynômes. Cependant, nous savons que c’est un long processus. Remarquons plutôt que nous divisons par un polynôme du premier degré. Et on nous demande seulement de trouver le terme restant. Cela devrait nous rappeler le théorème du reste. Nous rappelons le théorème du reste qui nous dit que lorsque 𝑝 de 𝑥 est divisé par un polynôme du premier degré 𝑥 moins 𝑎, alors le reste est constant et égale 𝑝 évalué en 𝑎.

Nous devons faire un peu attention à la façon dont nous utilisons le théorème du reste dans ce cas. Nous divisons par un polynôme du premier degré trois 𝑥 plus quatre, mais ce n’est pas sous la forme 𝑥 moins 𝑎. Donc, au lieu de faire notre division, appelons notre polynôme quotient 𝑞 de 𝑥 et notre polynôme reste 𝑟 de 𝑥. Cela signifie que nous aurons trois 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins cinq égale trois 𝑥 plus quatre fois 𝑞 de 𝑥 plus 𝑟 de 𝑥 pour certains polynômes 𝑞 de 𝑥 et 𝑟 de 𝑥. Nous pouvons voir que notre diviseur est un polynôme du premier degré ; il est de degré un. Notre reste doit avoir un degré inférieur à notre diviseur. Cela signifie qu’il doit être de degré zéro. En d’autres termes, c’est une constante. Nous appellerons cette constante 𝑟.

Et à ce stade, il y a deux façons similaires de résoudre cette équation. Si nous résolvons notre diviseur du premier degré est égal à zéro, alors cela nous donne 𝑥 est égal à moins quatre sur trois. Une façon de trouver la valeur de 𝑟 est de substituer cette valeur directement dans cette expression. En faisant cela, nous obtenons notre polynôme du troisième degré évalué en moins quatre sur trois est égal à zéro fois 𝑞 évalué en moins quatre sur trois plus 𝑟. Mais cela est simplifié et nous donne 𝑟. Et c’est une façon parfaitement valide de résoudre cette équation. Cependant, nous allons le faire en prenant un diviseur de trois en dehors de notre diviseur. Ce faisant, nous pouvons réécrire l’équation comme trois fois 𝑥 plus quatre sur trois.

Et maintenant, nous commençons à voir quelque chose d’intéressant. Considérons que trois fait partie de 𝑞 de 𝑥. Alors, qu’avons-nous maintenant ? Nous avons notre polynôme du troisième degré qui est égal à 𝑥 plus quatre sur trois fois un certain polynôme plus une constante. En fait, nous avons trouvé ici une expression pour notre polynôme quotient lorsque nous divisons notre polynôme du troisième degré par 𝑥 plus quatre sur trois. En d’autres termes, le terme du reste lorsque nous divisons par 𝑥 plus quatre sur trois ou lorsque nous divisons par trois 𝑥 plus quatre est le même. Cela signifie que nous pouvons simplement utiliser le théorème du reste pour trouver notre valeur de 𝑟. Et nous le ferons en évaluant notre polynôme du troisième degré en 𝑥 égale moins quatre sur trois. Cela nous donne l’expression suivante. Et ensuite, en évaluant cette expression, nous avons pu montrer que notre terme de reste doit être égal à moins 11.

Passons maintenant aux points clés de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons pu montrer, en utilisant une méthode similaire à la division posée, que nous pouvons diviser deux polynômes. Nous savons que la division d’un polynôme par son diviseur nous donnera un reste nul. Nous savons également que notre polynôme du reste aura toujours un degré inférieur à notre polynôme diviseur. Enfin, nous avons appris le théorème du reste, qui nous dit que lorsqu’un polynôme 𝑝 de 𝑥 est divisé par le polynôme du premier degré 𝑥 moins 𝑎, alors notre polynôme du reste sera constant. Et il sera égal à 𝑝 évalué en 𝑎.

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