Transcription de la vidéo
Le figure illustre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacun des carreaux du quadrillage sur la figure a une longueur de côté de un. Calculez le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁.
Bon, il s’agit donc d’une question sur les produits vectoriels. Nous avons une figure illustrant deux vecteurs nommés 𝐀 et 𝐁. On nous dit que les carreaux du quadrillage ont des côtés de longueur un. Et puis on nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 de ces deux vecteurs.
Commençons par écrire les vecteurs en fonction de leurs composantes. Pour ce faire, nous devons trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de chaque vecteur sur la figure. Ajoutons un axe 𝑥 et un axe 𝑦 à la figure pour rendre ce processus un peu plus clair. Nous voyons que le vecteur 𝐀 s’étend de quatre unités dans le sens positif de la direction 𝑥 et de quatre unités dans le sens négatif de la direction 𝑦. Si nous nous rappelons que 𝐢 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦, alors nous pouvons écrire que le vecteur 𝐀 est égal à sa composante 𝑥, quatre, multipliée par 𝐢 plus sa composante 𝑦, moins quatre, multipliée par 𝐣. Ou plus simplement, nous pourrions écrire ceci comme quatre 𝐢 moins quatre 𝐣.
Pour le vecteur 𝐁, nous voyons qu’il s’étend de cinq unités dans le sens négatif de la direction 𝑥 et d’une unité dans le sens négatif de la direction 𝑦. Nous pouvons donc écrire que 𝐁 est égal à sa composante 𝑥, moins cinq, multipliée par 𝐢 plus sa composante 𝑦, moins un, multipliée par 𝐣, que nous pourrions également écrire moins cinq 𝐢 moins 𝐣.
Alors maintenant, nous avons des expressions pour 𝐀 et 𝐁 sous forme de composantes. La question nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. Rappelons donc la définition du produit vectoriel de deux vecteurs. Définissons deux vecteurs généraux qui se trouvent dans le plan 𝑥𝑦 et nommons-les 𝐚 minuscule et 𝐛 minuscule. Eh bien, nous avons utilisé les lettres minuscules pour distinguer ce cas général de nos deux vecteurs spécifiques à la question.
Nous pouvons écrire ces vecteurs généraux en fonction de leurs composantes, donnant aux composantes 𝑥 un indice 𝑥 et aux composantes 𝑦 un indice 𝑦. Ensuite, le produit vectoriel de 𝐚 croix 𝐛 est défini comme la composante 𝑥 de 𝐚 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐛 moins la composante 𝑦 de 𝐚 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐛 le tout multiplié par 𝐤, qui est le vecteur unitaire dans la direction 𝑧.
Nous pouvons utiliser cette définition pour calculer le produit vectoriel de nos deux vecteurs de la question, grand 𝐀 et grand 𝐁. Il est important ici de faire attention à tous les signes négatifs des composantes lors des calculs. On nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. Le premier terme est donc la composante 𝑥 de 𝐀, qui vaut quatre, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁, qui est de moins un. Ensuite, nous soustrayons le deuxième terme. Ce deuxième terme est la composante 𝑦 de 𝐀, qui vaut moins quatre, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, qui est de moins cinq. Ensuite, tout cela est multiplié par le vecteur unitaire 𝐤.
Ce premier terme, quatre multiplié par moins un, nous donne moins quatre. Le deuxième terme, moins quatre multiplié par moins cinq, nous donne plus 20. Mais rappelez-vous que nous soustrayons ce deuxième terme du premier. Nous avons donc moins quatre moins 20, le tout multiplié par 𝐤. En soustrayant 20 de moins quatre, nous obtenons la réponse à la question que le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 est égal à moins 24𝐤.