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Vidéo question :: Calcul du temps de vol d’un projectile Physique • Première année secondaire

Un projectile a une vitesse initiale de 25 m/s et est lancé à un angle de 48° au-dessus de l’horizontale. Combien de temps s’écoule entre le moment où le projectile quitte le sol et le moment où il revient au sol à la même hauteur de laquelle il a été lancé ?

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Transcription de la vidéo

Un projectile a une vitesse initiale de 25 mètres par seconde et est lancé à un angle de 48 degrés au-dessus de l’horizontale. Combien de temps s’écoule entre le moment où le projectile quitte le sol et le moment où il revient au sol à la même hauteur de laquelle il a été lancé ?

Dessinons un schéma de ce scénario. Nous avons un projectile lancé avec une vitesse initiale que nous appellerons 𝑉, et il est lancé à un angle au-dessus de l’horizontale que nous appellerons 𝜃. Pendant le mouvement du projectile, il n’y a que la force descendante de la gravité qui agit sur le projectile, qui a une grandeur équivalente à la masse du projectile, que nous appellerons 𝑚, multipliée par 𝑔, l’accélération due à la gravité. Cette force descendante fait que la trajectoire du projectile soit courbe. Et on nous dit que le projectile retourne au sol à la même hauteur que celle à laquelle il a été lancé. Nous appellerons le déplacement vertical du projectile 𝑆 𝑦. Et à la fin du mouvement, son déplacement vertical est égal à zéro.

La question nous demande de déterminer à quel moment il revient au sol, que nous appellerons 𝑇 majuscule, et est également connu sous le nom du temps de vol du projectile. Pour répondre à cette question, nous devons trouver le moment où le projectile atteint un certain déplacement. Nous avons donc besoin d’une équation qui relie le déplacement au temps pendant le mouvement du projectile. Nous commencerons par la formule suivante, qui nous dit que le déplacement d’un objet en accélération constante est égal à sa vitesse initiale multipliée par le temps plus la moitié de l’accélération qu’elle subit multipliée par le temps au carré.

Dans notre cas, nous voulons examiner le déplacement vertical du projectile, que nous appellerons 𝑆 𝑦. Nous pouvons donc écrire 𝑆 𝑦 est égal au vecteur vitesse vertical initial du projectile 𝑉 𝑦 multipliée par le temps moins la moitié de 𝑔 multipliée par le temps au carré. Notez qu’il y a un signe négatif ici parce que la gravité agit vers le bas comme indiqué sur notre schéma. Le point dans le mouvement du projectile qui nous intéresse est lorsque le déplacement vertical du projectile est égal à zéro, nous pouvons donc écrire zéro égal à 𝑉 𝑦 multiplié par 𝑡 moins un demi 𝑔𝑡 au carré. Ensuite, nous pouvons prendre 𝑡 comme facteur commun, donnant zéro est égal à 𝑉 𝑦 moins un demi 𝑔𝑡 le tout multiplié par 𝑡.

Cette expression sera égale à zéro pour deux valeurs de 𝑡 : une fois pour 𝑡 égale zéro et l’autre lorsque la partie entre parenthèses, 𝑉 𝑦 moins un demi 𝑔𝑡, sera égal à zéro. Cela a du sens. Au début du mouvement lorsque 𝑡 est égal à zéro, le déplacement vertical du projectile est également nul. La deuxième fois que le déplacement vertical du projectile est nul, il s’agit de la fin du mouvement. Nous voulons donc résoudre l’équation suivante : zéro est égal à 𝑉 𝑦 moins un demi 𝑔𝑡. Nous allons d’abord ajouter un demi 𝑔𝑡 des deux côtés, et ces termes à droite s’annulent. Ensuite, nous multiplierons les deux côtés par deux, où ces deux à gauche s’annuleront. Enfin, nous diviserons les deux côtés de l’équation par 𝑔, et ces 𝑔 à gauche s’annuleront.

En aménageant cela légèrement, nous obtenons 𝑡 est égal à deux 𝑉 𝑦 divisé par 𝑔, et cela est égal à notre temps de vol 𝑇 majuscule. Il ne nous reste plus qu’à trouver une expression pour le vecteur vitesse vertical initial du projectile 𝑉 𝑦. Pour faire cela, nous pouvons regarder un schéma de la vitesse initiale du projectile et de son angle de lancement au-dessus de l’horizontale. Le vecteur vitesse du projectile a une composante horizontale, que nous appellerons 𝑉 𝑥, et une composante verticale, que nous avons appelée 𝑉 𝑦. 𝑉, 𝑉 𝑥 et 𝑉 𝑦 forment un triangle rectangle. Nous pouvons donc voir que 𝑉 𝑦 est égal à 𝑉 multiplié par le sinus de l’angle de lancement au-dessus de l’horizontale, 𝜃. En substituant cela dans notre expression pour le temps de vol du projectile, nous obtenons 𝑇 est égal à deux 𝑉 sin 𝜃 divisé par 𝑔.

Il ne nous reste plus qu’à substituer nos valeurs de 𝑉, 𝜃 et 𝑔 dans cette équation pour calculer le temps de vol du projectile. La question nous dit que la vitesse initiale du projectile est de 25 mètres par seconde, donc 𝑉 est égal à 25 mètres par seconde. La question nous dit également que l’angle de lancement du projectile est de 48 degrés au-dessus de l’horizontale, donc 𝜃 est égal à 48 degrés. Enfin, 𝑔 est égal à 9,81 mètres par seconde au carré. 𝑔 et 𝑉 sont en unités SI, nous n’avons donc pas à nous soucier de les convertir.

Donc, 𝑇 est égal à deux multiplié par 25 mètres par seconde multiplié par le sinus de 48 degrés divisé par 9,81 mètres par seconde au carré. À une décimale près, 𝑇 est égal à 3,8 secondes. Le temps mis par le projectile entre son départ du sol et son retour au sol à la même hauteur que celle à laquelle il a été lancé est de 3,8 secondes.

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