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Vidéo question :: Trouver la distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées dans un plan en trois dimensions Mathématiques • Troisième secondaire

Calculez la distance entre les deux points 𝐴 (−7 ; 12 ; 3) et 𝐵 (−4 ; −1 ; −8).

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Transcription de la vidéo

Calculez la distance entre les deux points 𝐴 de coordonnées moins sept, 12, trois et 𝐵 de coordonnées moins quatre, moins un, moins huit. Pour résoudre cette question, nous pouvons utiliser une formule qui nous donne la distance entre deux points arbitraires dans un espace tridimensionnel.

Pour 𝑃 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑄 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, elle est égale à la racine carrée de 𝑥 un moins 𝑥 deux au carré plus 𝑦 un moins 𝑦 deux au carré plus 𝑧 un moins 𝑧 deux au carré. Ceci est très similaire à la formule de distance dans un espace bidimensionnel. La seule différence est que nous avons une troisième coordonnée 𝑧, puisque que nous travaillons dans un espace tridimensionnel.

En substituant les valeurs des coordonnées, nous obtenons moins sept moins moins quatre au carré plus 12 moins moins un carré plus trois moins moins huit au carré. Nous trouvons que moins sept moins moins quatre est moins trois, 12 moins moins un est 13 et trois moins moins huit est 11.

La distance est donc la racine carrée de neuf plus 169 plus 121, c’est-à-dire la racine carrée de 299 unités de longueur. Et en regardant la décomposition en éléments premiers de 299, cela donne 13 fois 23. Nous pouvons voir que nous ne pouvons pas simplifier davantage ce radical, c’est donc notre réponse finale. Il suffisait donc d’appliquer une formule, mais d’où vient-elle ? Je ne vais pas déduire la formule générale ; je vais juste résoudre le problème sans l’utiliser.

Mais il s’avère que la solution peut être généralisée assez facilement pour retrouver la formule générale de la distance entre deux points dans un espace tridimensionnel. J’ai dessiné quelque chose qui ressemble beaucoup au plan à deux dimensions, mais en fait c’est un espace tridimensionnel avec l’axe des 𝑧 pointant directement vers vous depuis l’origine.

Dans cette orientation de l’espace, vous ne pouvez pas voir l’axe des 𝑧 mais croyez-moi, il est là. J’ai placé le point 𝐴 aux coordonnées moins sept, 12, trois, et j’ai également placé le point auxiliaire 𝑃 aux coordonnées moins quatre, moins un, trois.

Notez que le point 𝑃 n’est pas le même que le point 𝐵 ; bien que ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 soient identiques, sa coordonnée 𝑧 est trois et non moins huit. Il a cependant la même coordonnée 𝑧 que le point 𝐴, et les deux points se trouvent donc dans le plan d’équation 𝑧 égale trois.

Nous pouvons ajouter un autre point auxiliaire, 𝑄, aux coordonnées moins sept, moins un et trois. Il est dans le même plan que les deux autres points de coordonnée 𝑧 égale trois. De plus, il a la même coordonnée 𝑥 que le point 𝐴. La seule différence entre les points 𝐴 et 𝑄 réside dans leurs coordonnées en 𝑦 : 𝐴 a une coordonnée en 𝑦 de 12, alors que 𝑄 a une coordonnée en 𝑦 de moins un. Et ainsi, pour aller de 𝐴 à 𝑄, vous devez vous déplacer de 13 unités dans la direction opposée à l’axe des 𝑦, donc la distance entre 𝐴 et 𝑄 est de 13 unités de longueur.

De la même manière, nous pouvons voir que pour passer de 𝑄 à 𝑃, il faut déplacer de trois unités dans la direction 𝑥. Et bien sûr, l’angle formé en 𝑄 est un angle droit ; rappelez-vous que nous travaillons dans le plan d’équation 𝑧 égale trois, il s’agit donc vraiment d’un angle droit et pas seulement de quelque chose qui ressemble à un angle droit en raison de la façon dont nous avons orienté notre espace tridimensionnel. Et donc en utilisant le théorème de Pythagore, nous voyons que la distance de 𝐴 à 𝑃 est la racine carrée de 178 unités de longueur.

Bien sûr, c’est la même réponse que nous obtiendrions en utilisant la formule de distance bidimensionnelle et en ignorant simplement la troisième coordonnée, la coordonnée 𝑧. C’est très bien, mais nous ne cherchons pas la distance de 𝐴 à 𝑃 ; nous cherchons la distance de 𝐴 à 𝐵. Si vous vous en souvenez, l’axe des 𝑧 pointe directement vers nous. Ainsi, le point 𝐵 qui a les mêmes coordonnées 𝑥 et 𝑦 que le point 𝑃, mais une coordonnée 𝑧 différente, a l’air d’occuper le même espace que le point 𝑃 sur notre représentation bidimensionnelle de l’espace tridimensionnel.

Bien sûr, comme mentionné précédemment, il n’est pas au même endroit que 𝑃. En fait, il est à une distance de trois moins moins huit unités dans la direction 𝑧. Donc, si nous dessinons maintenant une autre représentation de notre espace tridimensionnel - où vous ne pouvez pas voir l’axe des 𝑥 car il part dans l’écran et en notant 𝐴, 𝑃 et 𝐵 sur ce diagramme - nous pouvons voir que 𝐵 et 𝑃 ne sont pas du tout les mêmes. Et en fait, vu que 𝑄 et 𝑃 ont les mêmes coordonnées 𝑦 et 𝑧, si nous notons également 𝑄 sur ce diagramme, il semblerait que 𝑄 soit au même endroit que 𝑃.

Pour aller de 𝐵 à 𝑃, vous devez vous déplacer de 11 unités dans la direction 𝑧, donc la distance de 𝐵 à 𝑃 est de 11. Nous pouvons également noter la longueur de AP que nous avons trouvée en utilisant le diagramme de gauche ; c’est la racine carrée de 178 unités de longueur. Nous devons être prudents ici car si nous regardons seulement le diagramme de droite, il est très tentant de croire que la seule différence entre 𝐴 et 𝑃 réside dans leur coordonnée 𝑦, et donc que la longueur AP vaut 12 moins moins un c’est-à-dire 13.

Mais bien sûr leurs coordonnées 𝑥 sont également différentes. C’est simplement parce que l’axe des 𝑥 pointe vers l’écran que nous ne pouvons pas le voir facilement. La chose difficile à voir ici est que l’angle en 𝑃 est un angle droit. Ces diagrammes bidimensionnels peuvent parfois déformer les angles tridimensionnels, mais dans ce cas, c’est vraiment un angle droit, et nous pouvons le prouver en utilisant des vecteurs par exemple.

Mais après nous être convaincus de ce fait, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore. La longueur AB, la distance entre 𝐴 et 𝐵, est la racine carrée de 11 au carré plus la racine carrée de 178 au carré, qui est la racine carrée de 121 plus 178, qui comme précédemment est la racine carrée de 299 unités de longueur.

Il est assez fréquent que l’on vous demande de trouver la distance entre deux points dans un espace tridimensionnel. Après tout, l’espace tridimensionnel est l’espace dans lequel nous vivons. Et donc, plutôt que de suivre ce processus chaque fois que vous voulez trouver la distance entre deux points dans un espace tridimensionnel, il est logique de le faire une seule fois en utilisant une formule générale et d’adapter les termes à notre problème.

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