Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les coordonnées du point d’intersection de deux droites dans le repère cartésien. Et nous utiliserons ce concept pour trouver les équations de droites.
Commençons donc par réfléchir à ce que nous entendons par le point d’intersection des droites. Nous disons que le point d’intersection de deux droites distinctes, non parallèles, est le seul point où elles se rencontrent ou se croisent. Ainsi, nous pourrions, par exemple, avoir le segment 𝐴𝐵 et un autre segment 𝑃𝑄. Nous pourrions étiqueter où ces deux segments se croisent comme le point 𝐹. Par conséquent, le point 𝐹 est l’intersection du segment 𝐴𝐵 et du segment 𝑃𝑄. Notez que dans le cadre de cette définition de l’intersection des droites, nous avons utilisé le mot « non parallèle ». C’est parce que si nous avons deux droites parallèles distinctes, elles sont toujours à la même distance et elles ne se croiseront jamais.
Ainsi, quand il s’agit de trouver l’intersection de deux droites dans un repère cartésien, le même principe s’applique toujours. Nous cherchons à trouver le point où les deux droites se rencontrent ou se croisent. On nous donnera généralement les équations de deux droites comme celle-ci. Ainsi, le point d’intersection est la paire ordonnée des valeurs de 𝑥 et 𝑦 où les droites se rencontrent sur le graphique et qui satisfait les équations des deux droites. Nous pouvons trouver cette paire ordonnée graphiquement en dessinant ou algébriquement en résolvant pour trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Notez que parce que nous avons généralement deux équations avec deux inconnues de 𝑥 et 𝑦, nous devrons souvent résoudre simultanément ou en utilisant une méthode de substitution.
Dans cette vidéo, nous allons voir différentes méthodes de résolution algébrique. Mais d’abord, regardons un exemple où nous utilisons une méthode graphique pour trouver l’intersection de deux droites.
À quel point les droites 𝑥 égale sept et un sixième 𝑦 égal moins un se croisent-elles ?
Dans cette question, nous avons les équations de deux droites et on nous demande où ces deux droites se croisent, ce qui serait le point où elles se rencontrent ou se croisent. Il pourrait être utile de commencer par visualiser à quoi ressembleraient ces deux droites dans le repère cartésien. La droite 𝑥 égale sept indique tous les couples ordonnés qui ont une abscisse 𝑥 de sept. Et donc nous aurons une droite verticale qui passe par sept sur l’axe des 𝑥.
Pour la deuxième équation d’un sixième 𝑦 égale moins un, il est parfois plus facile de visualiser l’équation d’une droite comme celle-ci si nous écrivons l’équation en isolant 𝑦. Réorganiser en multipliant par six nous donnerait l’équation de 𝑦 égale moins six. Ainsi, l’équation de la droite 𝑦 égale moins six, ou un sixième 𝑦 égale moins un, sera une droite horizontale passant par moins six sur l’axe des 𝑦.
Le point d’intersection est alors le couple ordonné où ces deux droites se croisent. En utilisant le graphique, nous pouvons voir que cela se produit au point de coordonnées sept, moins six. Et c’est donc la réponse pour le point d’intersection des deux droites.
Si nous voulions envisager ici une méthode algébrique au lieu de dessiner les droites, généralement lorsque nous trouvons l’intersection de deux droites, nous pourrions assimiler les équations. Mais comme nous avions une droite horizontale et une droite verticale ici, le seul point où ces deux ont les mêmes valeurs de 𝑥 et 𝑦 est lorsque 𝑥 est égal à sept et 𝑦 est égal à moins six, ce qui nous donnerait également les coordonnées sept, moins six.
Dans les exemples suivants, nous utiliserons une méthode algébrique pour trouver l’intersection de deux droites.
Déterminez le point d’intersection des deux droites représentées par les équations 𝑥 plus trois 𝑦 moins deux égal à zéro et moins 𝑦 plus un égal à zéro.
Disons que pour répondre à cette question, nous n’allons pas tracer ces droites pour obtenir une solution graphique. Mais au lieu de cela, nous allons les résoudre algébriquement. Au point d’intersection, c’est l’endroit où les deux droites se rencontrent ou se croisent, les valeurs de 𝑥 et 𝑦 doivent être les mêmes. Comme nous avons deux équations avec les deux inconnues de 𝑥 et 𝑦, nous pouvons alors résoudre simultanément ou en utilisant une méthode de substitution. Cependant, dans notre deuxième équation, notez que nous n’avons pas réellement une valeur de 𝑥. Donc, peut-être que le moyen le plus efficace pour trouver 𝑥 et 𝑦 est d’utiliser une méthode de substitution. Si nous prenons cette deuxième équation de moins 𝑦 plus un égal à zéro et réorganisons cela pour isoler 𝑦, en ajoutant 𝑦 aux deux membres, nous obtiendrons un égal à 𝑦 ou 𝑦 égal à un.
Et maintenant que nous avons établi que 𝑦 est égal à un, nous pouvons le substituer dans la première équation. Cela nous donne 𝑥 plus trois fois un moins deux est égal à zéro. En évaluant cela, nous avons 𝑥 plus un égal à zéro. Et donc 𝑥 est égal à moins un. Maintenant, nous savons qu’au point d’intersection de ces deux droites, la valeur de 𝑥 est moins un et la valeur de 𝑦 est un, ce qui signifie que nous pouvons donner notre réponse sous la forme de coordonnées comme moins un, un.
Voyons maintenant comment nous pourrions créer l’équation générale des droites passant par le point d’intersection de deux droites données. Disons que nous avons deux droites données comme 𝑎 indice un 𝑥 plus 𝑏 indice un 𝑦 plus 𝑐 indice un égal à zéro et 𝑎 indice deux 𝑥 plus 𝑏 indice deux 𝑦 plus 𝑐 indice deux est égal à zéro. Ensuite, nous pouvons écrire une équation générale pour toute droite qui passe par l’intersection de ces deux droites. Nous disons que pour les deux droites données, l’équation de toutes les droites passant par leur point d’intersection peut être donnée comme 𝑚 fois 𝑎 indice un 𝑥 plus 𝑏 indice un 𝑦 plus 𝑐 indice un plus 𝑙 fois 𝑎 indice deux 𝑥 plus 𝑏 indice deux 𝑦 plus 𝑐 indice deux est égal à zéro, où 𝑚 et 𝑙 sont dans l’ensemble des nombres réels.
Nous pouvons également noter deux points importants sur les valeurs de 𝑚 et 𝑙. Si 𝑚 est égal à zéro, nous aurions juste l’équation de la deuxième droite. Et si 𝑙 est égal à zéro, nous aurions simplement l’équation de la première droite. Ainsi, si 𝑚 n’est pas égal à zéro et 𝑙 n’est pas égal à zéro, nous avons l’équation d’une droite passant par le point d’intersection, à l’exclusion des droites initiales. Et donc nous pouvons écrire l’équation ci-dessus sous la forme 𝑎 indice un 𝑥 plus 𝑏 indice un 𝑦 plus 𝑐 indice un plus 𝑘 fois 𝑎 indice deux 𝑥 plus 𝑏 indice deux 𝑦 plus 𝑐 indice deux, égal à zéro, pour tout 𝑘 de l’ensemble des nombres réels. Et c’est cette forme de l’équation que nous verrons comment nous pouvons l’appliquer dans l’exemple suivant.
Quelle est l’équation de la droite passant par 𝐴 avec des coordonnées moins un, trois et par le point d’intersection des droites trois 𝑥 moins 𝑦 plus cinq égale zéro et cinq 𝑥 plus deux 𝑦 plus trois égale zéro ?
Nous pouvons commencer par rappeler que le point d’intersection de deux droites est le point où elles se rencontrent ou se croisent. On peut également rappeler qu’il existe une équation générale d’une droite passant par le point d’intersection de deux droites. Si deux droites ont des équations 𝑎 indice un 𝑥 plus 𝑏 indice un 𝑦 plus 𝑐 indice un égal à zéro et 𝑎 indice deux 𝑥 plus 𝑏 indice deux 𝑦 plus 𝑐 indice deux égal à zéro, alors nous pouvons écrire l’équation comme 𝑎 indice un 𝑥 plus 𝑏 indice un 𝑦 plus 𝑐 indice un plus 𝑘 fois 𝑎 indice deux 𝑥 plus 𝑏 indice deux 𝑦 plus 𝑐 indice deux est égal à zéro, pour tout 𝑘 dans l’ensemble des nombres réels.
Donc, prenons l’équation trois 𝑥 moins 𝑦 plus cinq égale zéro pour avoir les valeurs de 𝑎 indice un, 𝑏 indice un et 𝑐 indice un. Cela signifie que 𝑎 indice un est trois, 𝑏 indice un est moins un, et 𝑐 indice un est cinq. Et de la même manière, nous pouvons prendre la deuxième équation pour les valeurs de 𝑎 indice deux, 𝑏 indice deux et 𝑐 indice deux, qui seront respectivement égales à cinq, deux et trois. Ensuite, nous les substituons dans l’équation générale de la droite, ce qui donne trois 𝑥 moins 𝑦 plus cinq plus 𝑘 fois cinq 𝑥 plus deux 𝑦 plus trois est égal à zéro.
À ce stade, nous avons trouvé l’équation générale d’une droite qui passe par le point d’intersection des deux droites trois 𝑥 moins 𝑦 plus cinq égale zéro et cinq 𝑥 plus deux 𝑦 plus trois égale zéro. Et il y aurait en fait un nombre infini de droites qui passent par leur point d’intersection donné par le nombre infini de valeurs que nous pourrions prendre pour 𝑘. Cependant, nous devons déterminer l’équation d’une droite spécifique. C’est la droite qui passe par ce point d’intersection et le point 𝐴 de coordonnées moins un, trois. Et donc nous pouvons substituer les valeurs 𝑥 est égal à moins un et 𝑦 est égal à trois dans cette équation. Lorsque nous faisons cela et simplifions, nous avons que moins un plus 𝑘 fois quatre est égal à zéro. En réarrangeant, nous avons quatre 𝑘 égal à un et 𝑘 égal à un quart.
Maintenant que nous avons calculé la valeur de 𝑘, nous pouvons la substituer dans cette équation générale. Et cela donne trois 𝑥 moins 𝑦 plus cinq plus un quart fois cinq 𝑥 plus deux 𝑦 plus trois est égal à zéro. Pour simplifier, nous répartissons le quart sur les parenthèses, puis nous collectons les termes similaires. Cette équation de 17 sur quatre 𝑥 moins deux quarts 𝑦 plus 23 sur quatre égale zéro serait une équation valide de la droite. Mais il serait un peu plus agréable d’écrire ceci avec des valeurs entières pour les coefficients de 𝑥 et 𝑦. Donc, en multipliant par quatre, nous avons 17𝑥 moins deux 𝑦 plus 23 égale zéro. Et c’est la réponse à l’équation de la droite qui passe par le point 𝐴 et le point d’intersection des deux droites données.
Notez qu’une autre façon pour nous de résoudre cet exemple sans utiliser cette forme d’équation générale est de résoudre d’abord les équations des deux droites simultanément pour trouver le point d’intersection. Nous aurions alors eu besoin de calculer la pente de la droite entre les deux points et l’utiliser dans la forme de l’équation utilisant la pente et les coordonnées d’u point particulier pour obtenir l’équation que nous avons trouvée.
Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Le point d’intersection entre deux droites distinctes non parallèles est le point où elles se rencontrent ou se croisent. C’est la paire ordonnée des valeurs de 𝑥 et 𝑦 où les droites se rencontrent sur le graphique et qui satisfait les équations des deux droites. Mais notez que des droites parallèles distinctes sont des droites dans un plan qui sont toujours à la même distance. Elles n’auront aucun point d’intersection. Nous pouvons trouver le point d’intersection de deux droites graphiquement ou algébriquement. Les solutions algébriques donneront toujours un résultat précis.
Pour trouver algébriquement le point d’intersection entre deux droites non parallèles, nous résolvons le système de deux équations. Ensuite, les valeurs solution de 𝑥 et 𝑦 forment le point d’intersection dont les coordonnées sont 𝑥, 𝑦. Nous avons également vu comment nous pouvons créer une équation générale pour toute droite qui passe par le point d’intersection de deux droites, que nous pouvons écrire comme 𝑚 fois 𝑎 indice un 𝑥 plus 𝑏 indice un 𝑦 plus 𝑐 indice un plus 𝑙 fois 𝑎 indice deux 𝑥 plus 𝑏 indice deux 𝑦 plus 𝑐 indice deux est égal à zéro, où 𝑚 et 𝑙 sont dans l’ensemble des nombres réels.
Surtout, en reconnaissant que lorsque 𝑚 et 𝑙 sont non nuls, nous avons l’équation 𝑎 indice un 𝑥 plus 𝑏 indice un 𝑦 plus 𝑐 indice un plus 𝑘 fois 𝑎 indice deux 𝑥 plus 𝑏 indice deux 𝑦 plus 𝑐 indice deux égale zéro, pour tout 𝑘 dans l’ensemble des nombres réels. Et parce que 𝑘 peut avoir un ensemble infini de valeurs, alors il y a un nombre infini de droites passant par le point d’intersection de deux droites. Comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, si on nous demande de trouver l’équation d’une droite spécifique passant par un point d’intersection, nous saisissons toute information supplémentaire, telle qu’un point sur la droite, pour déterminer l’équation exacte.